概率论综述
第一章 事件与概率
§1. 随机现象与统计规律性
一.随机现象
概率论（probability theory ）是研究随机现象的数量规律的数学分支。

本节概述他的研究对象及殊地位。

在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。

反之，那种在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件，这些统称为决定性现象。

另一类现象，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的结果，即就个别实验或观察而言，它会时而出现这种结果，时而出现结果，呈现出一种偶然性。

这种现象称之为随机现象（random phenomenon ）,对于随机现象通常关心的是试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称之为随机事件，简称事件(event)。

二.频率稳定性
对于随机事件A,若在N 次实验中出现了n 次，则称
N
n A F N =)( 为随机事件A 在N 次实验中出现的频率.
有种种事实表明，随机现象有其偶然的一面，也有其必然的一面。

这种必然性表现为大量试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性我们称之为统计规律性。

对于一个随机事件A ，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称之为随机事件A 的概率（probability ）.因此概率度量了随机事件发生的可能性大小。

三.频率与概率
首先，概率具有非负性
0)(≥A F N
其次，对于必然发生的事件，在N 此试验中应出现N 次。

若以Ω记必然事件，则应有
1)(=ΩN F
还有，若A 及B 是两个两个不会同时发生的随机事件，以A+B 表示A 或B 至少出现其一这一事件，则应有
)()()(B F A F B A F N N N +=+
这个性质称之为频率的可加性
四.概率论简史
概率论是一门研究随机现象的数量规律的学科，诞生于1654年，20世纪是概率论复兴和大发展的世纪。

古老的统计学在20世纪初期由于引入概率思想，发展成为数理统计学，二者联手，在强大的计算机的能力的支持下，已成为最有力的定量分析手段，在近代物理、无限电与自动控制、网络通信、质量管理、生物工程、医药和农业试验、金融保险业等方面都有重要的作用。

§2样本空间与实验
一.样本空间
试验可能出现的结果成为样本点（sample point ），一般用ω表示，样本点全体构成样本空间（sample space ），用Ω表示。

二.事件
我们把事件定义为样本点的某个集合，称某事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现。

三.事件的运算
我们先来讨论两个事件A 与B 之间的关系。

若A 中的每个样本点都包含在B 中，则记A B B A ⊃⊂或，并称A 被包含于B ，这是事件A 发生必然导致事件B 的发生。

若B A B A ⊂⊃与同时成立，则称A 与B 等价，记为A=B 。

对于事件A ，由所有不包含在A 中的样本点所组成的事件称为A 的逆事件，或对立事件。

若AB=φ,则称A 与B 不能同时发生，称A 与B 互不相容。

事件运算成立如下德摩根定理，亦称对偶原理：
B A B A ⋂=U ， B A B A ⋃=⋂
事件的运算成立以下关系式：
（1）交换律：BA AB A B B A =⋃=⋃,
（2）结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，);()(BC A C AB =
（3）分配率：BC AC C B A ⋃=⋂⋃)(，
)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂。

四.有限样本空间
只有有限个样本点的样本空间称为有限样本空间。

若Ω是有限样本空间，其样本点为n ωωω,...,,21，则有
1)(...)()(21=+++n p P P ωωω
定义1.2.1 任何事件A 的概率P(A)是A 中个样本点的概率之和。

按照此定义，显然有P(Ω)=1,1)(0≤≤A P .
包含可列个样本点的样本空间称为离散样本空间。

§3.古典概型
一.模型与计算公式
一般随机现象具有下列两个特征：
（1）在试验中它的全部可能只有限个，且这些事件是两两互不相容的。

（2）事件n ωωω,...,,21的发生或出现是等可能的，即它们发生的概率都是一样。

（3）一般把这类随机现象的数学模型称之为古典模型。

二.基本的组合分析公式
1.乘法原理和加法原理；
2.排列
3.组合
4.关于二项系数的一些公式。

三.概率论直接计算的例子
四.抽签与顺序无关
从书中的例子我们可以知道，在计算样本总数及有利场合数时，必须对同一个确定的样本空间考虑，因此其中一个考虑顺序，另一个也必须考虑顺序，否则结果一定不正确。

五.二项分布与超几何分布
[有放回抽样场合] 把a+b 件产品进行编号，有放回抽n 次，把可能得重复排列全体作为样本点，总数为n b a )(+，其中有利场合（即次品正好出现k 次）的数
目是k n k b a k n -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，故所求的概率为
k n k n k n k k b a b b a a k n b a b a k n b --⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)( k b 是二项式n b
a b b a a )(
+++展开式的一般项，上述概率称为二项式分布. [不放回抽样场合] 从a+b 件产品中取出n 件产品的可能组合全体作为样本点总数为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n b a ，有利场合数为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n b k a ，故所求概率为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n b a k n b k a h k 这个概率称为超几何分布.
六. 概率的基本性质
从古典概型的概率研究中，我们发现概率有下面三个基本性质：
(i)对于任何事件A,P(A)0≥
(ii)1)(=ΩP ;
(iii)若m A A A ,...,,21两两互不相容，则
)(...)()()...(2121m m A P A P A P A A A P +++=+++
第一个性质称为概率的非负性，第二个性质称为概率的规范性，第三个性质称为概率的（有限）可加性。

§4. 几何概率
一.例子与计算公式
若以g A 记“在区域Ω中随机地取一点，而该点落在区域g 中”，这一事件，则其概率定义为
的测度
的测度Ω=g A P g )( 二.蒲丰问题
三.积分计算的蒙特卡洛法
四.贝特朗奇论
五.概率的基本性质
几何概率应有如下性质：
(i)对任何事件A ，P(A)0≥
(ii)1)(=ΩP ;
(iii)若,...,21A A 两两互不相容，则
∑∑∞
=∞==11)()(n n n n A P A P
上式对可列个两两互不相容的事件成立，这性质成为可列可加性。

§5.概率空间
一．走向概率论公理化结构
到本世纪初，概率论的各个领域已经得到了大量的结果，但到那时为止，关于概率论的一些基本概念却没有明确定义。

解决这个问题的时机也在不断的成熟，首先是通过对概率论的两个基本概念——事件与概率的长期研究，发觉事件的运算与集合的运算完全相似，概率与测度有相同的性质。

另外，19世纪末以来，数学的各个分支广泛流行着一股公理化潮流，在这种背景下，1933年，前苏联数学家科尔莫戈罗夫提出了概率论公理化结构，使概率论为严谨的数学分支。

二.事件域
我们把事件全体记为F,它是由Ω的一些子集构成的集类。

为了方便讨论，我们还得对F 加上某些限制：
(i)F ∈Ω;
(ii)若F F,∈∈A A 则
(iii)若F 1,2,...,n F,1n ∈=∈∞
=U n n A A 则
一般地，称空间Ω上满足上述三个要求的集类σ域，亦称σ代数。

定义1.5.1 若F,是由样本空间Ω的一些子集构成的一个σ域，则称它为事件域，F,中的元素称为事件，Ω称为必然事件，φ称为不可能事件。

[一维博雷尔点集]以后我们将1R 记数直线或实数全体，并称由一切为[a,b)的有界左闭右开区间的集类所产生的σ域为一维博雷尔σ域，记之为1B ，称1B 中的集为一维博雷尔点集。

三.概率
定义1.5.2 定义在事件域F 上的一个集合函数P 称为概率，如果它满足如下三个要求：
(i)F ∈≥A A P 对一切;0)(
(ii)1)(=ΩP
(iii)若F ∈i A ,...2,1=i 且两两互不相容，则 ∑∑∞
=∞==11)()(n n n n A P A P
四.可列可加性与连续性 定理1.5.1 若P 是F 上满足1)(=ΩP 的非负集合函数，则它具有可列可加性的充要条件为
(i)它是有限可加的；
(ii)它是下次连续的。

五.概率空间
我们称三元总体为概率空间),,(P F Ω,其中Ω是样本空间，F 是事件域，P 是概率。