第3章效用函数
一、效用的基本概念与符号
•(3) 弱序“≥” • 记作aRb，含义是“a不劣于b”，亦即a 优于或者无差异于b。
第3章效用函数
一、效用的基本概念与符号
(4) 展望(prospect) 展望指决策的可能的前景，即各种后果及后果
出现的概率的组合，记作P= <p1,c1; p2,c2;…; pr,cr; >.
3.1 引言
•例3.1 考虑钱对同一个人的价值。假设一个学生手头紧张，正好有机会挣 100元钱，但是所要做的是他相当讨厌的工作。 • （1）如他经济情况差，他会认为100元钱的实际价值足够大，所要做 的工作即使是相当讨厌的，他仍会去干； • （2）如他先有了10000元，要为100元钱去干这份让他讨厌的工作， 他就很可能不干了。 •
➢有人选确定性的1000元的收入。抽 奖的期望值虽大，风险也大，实际价 值还不如保险的1000元。 ➢而有人认为礼品不如抽奖，因为 抽奖提供了获得2500元的机会。
这个例子说明：决策人的风险态度影 响其对后果的实际价值判断。
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圣彼得堡悖论 (St. Petersburg Paradox/game)
•公理3.3表明两个有序的展望各有相同的比例
被相等的量
替代后，优先关系不变.
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例3.3 横过马路问题:效用有界性证明
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3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性
第3章效用函数
3.2.3 效用函数的存在性
(四)结果有限论
n Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进 行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果 值的大小限制在一定的范围内。
n 这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。 因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。
n 比如对游戏设定某一个投掷的上限数L，在投掷到这个 数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你 还能再投多少，就按照L付钱。因为你即便不设定L， 实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的， 任何原因都可以使得游戏中止。现在设定了上限，期 望值自然也就可以计算了。
嚼起来又酥又松，味道美极了！” n 兔子和猫争论不休、相持不下，跑去请猴子评理。 n 猴子听了，不由得大笑起来：“瞧你们这两个傻瓜蛋，连这点儿
常识都不懂！世界上最好吃的东西是什么？是桃子！桃子不但美 味可口，而且长得漂亮。我每天做梦都梦见吃桃子。” n 兔子和猫听了，全都直摇头。那么，世界上到底什么东西最好吃？
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复合展望
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一、效用的基本概念与符号
•(5) 抽奖与确定当量 • 由机会点和该机会点发出的n个机会枝的概率及相应 后果构成的图形称为抽奖（lottery），抽奖又称彩票。
•若C1 ~ (p, C2; (1-P),C3), 则称 确定性后果C1为抽奖(p, C2; (1-P),C3)的确定当量（certainty equivalent）。
第3章效用函数
2020/11/26
第3章效用函数
3.1 引言
n 在定量评价可能的行动的各种后果时， 会遇到两个主要问题:
✓ (1) 后果本身是用语言表述，可能没有任何 合适的直接测量标度。
✓ (2) 即使有一个明确的标度可以测量后果， 按这个标度测得的量也可能并不反映后果对 决策人的真正价值。
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传递性推导:
• P1
•
P2
•αP1+(1-α)P1 αP2+(1-α)P2
•αP1+(1-α)P3 αP2+(1-α)P3
•(一)边际效用递减论
• Daniel Bernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决 办法。他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的 期望效用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效 用测度函数用货币值的对数来表示:效用=log(货币值)，如表 2 所示。所有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈ 0.60206，如果这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元 为界。
此只要有可能，应该尽可能使用概率当量法。
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⑴ 概率当量法
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2．离散型后果的效用设定
n 后果为离散型随机变量时，后果集C 中元素为有限个，构造后果集上的 效用函数有两方面的内容: (1)确定各后果之间的优先序; (2)确定后果之间的优先程度。
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圣彼得堡悖论的解释2：
(二)风险厌恶论
n 圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制。 n 比如连续投掷40次才成功的话，奖金为1.1万亿元。但是这一奖
金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。实际上，游戏 有一半的机会，其奖金为 2元，四分之三的机会得奖4元和2元。 奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。 n Hacking（1980）所说：花25元的费用冒险参与游戏将是非常 愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。 n 因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。Pual Weirich就提出在期望值计算中加人一种风险厌恶因子，并得出 了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。
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一、效用的基本概念与符号
•(1) 严格序“ ” • a b(或者记作aPb)的含义是“a优于b”( a is preferred to b )；也就是说，若非外界因素 的强迫，决策人只会选择a而不会选择b。
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一、效用的基本概念与符号
• (2) 无差异“～” • a～b(或记作aIb)的含义是“a无差异于b” (a is indifference to b)；也就是说，决策人 对选择或同样满意。
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第3章效用函数
第3章效用函数
3.2 效用的定义和公理系统
n 3.2.1 效用的定义 n 3.2.2 效用存在性公理 n 3.2.3 效用的公理化定义和效用的存在性 n 3.2.4 基数效用与序数效用
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3.2.1 效用的定义
n 效用（utility）：消费者从消费商品中得 到的满足程度。
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圣彼得堡悖论的解释3：
•(三)效用上限论
• 也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用 之和就有了一个极限值。Menger认为效用上限是惟一能消解该悖论 的方法。设效用值等于货币值，上限为100 单位，则游戏的期望效用 为7.56l25，如表3所示。
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圣彼得堡悖论的解释4：
以上的故事说明效用完全是个人的心理感觉。 不同的偏好决定了对同一种商品效用大小的不同评价。
第3章效用函数
3.2.1 效用的定义
n 在决策理论中，后果对决策人的实际价值，即决策人对 后果的偏好次序是用效用(utility)来描述的。
n 效用就是偏好的量化，是数(实值函数)。
n 1738年，Daniel Bernoulli就指出：若一个人面临从给定 行动集(风险性展望集)中作选择的决策问题，如果他知 道与给定行动有关的将来的自然状态，且这些状态出现 的概率已知或可以估计，则他应选择对各种可能后果的 偏好的期望值最高的行动。
n 圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表 兄尼古拉·伯努利(Nicolaus Bernoulli)在1738提出的一个概率 期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏(表1)。
•问题：你愿意花100元来参加一次圣彼得堡游戏吗？
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圣彼得堡悖论的解释1：
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3.1 引言
n 由上面例子可知：在进行决策分析时，存在如何描述 或表达后果对决策人的实际价值，以便反映决策的人 心目中各种后果的偏好次序（preference order）的问 题。
n 偏好次序是决策人的个性与价值观的反映，它与决策 人所处的社会地位、经济地位、文化素养、心理和生 理（身体）状态有关。
1．估计效用函数值的方法
•⑴ 概率当量法
⑵ 确定当量法
•⑶ 增益当量法
⑷ 损失当量法
•
• 从纯理论角度看，这四种方法并没有实质性的区
别；但是实验结果表明，使用确定当量法时决策人对
最优后果（增益）的保守性和对损失的冒险性都比概
率当量法严重(Hershey，1982）；采用增益当量法
与损失当量法时产生的误差也比用概率当量法大，因
•实际价值
•0
00100
100000
这个例子说明：即使是数值量表示的后果，它对决策人的实际价值仍有待确定。
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3.1 引言
例3.2 决策人面临图3.1中决策树所示的选择：
①确定收入礼品1000元；
②参与一次抽奖：有50%的机会得0元，50%的机会得2500元。
n 序数效用不反映偏好强度，(保序变换下唯一), 原序数列可变 换为16,9,4,1；或 8,6,4,2,或10,7,6,1等.
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3.2.4 基数效用与序数效用
n 基数(cardinal number)效用：边际效用分析方法
n 总效用（TOTAL UTILITY，TU） ：消费者在一定时间内 从一定数量商品的消费中所得到的效用量的总和 ;
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