1 2
an
jbn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) c o s n 1 td t jT 1 0 T f( t) s in n 1 td t
1 2
an
jbn
F(n1)F , (n1)是复 数 F n1F (n1)ejn
X
17
第
幅频特性和相频特性 页
幅频特性
F(n1)1 2
c0 1
0 0
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
0 1 2 1
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
c1 52.236 1 0.15
c2 1
2 0.25
X
20
化为指数形式
第
页
f(t)1 1 ej1t ej1t 2j
2ej1t ej1t 1e2j1t4 e2jn1t4
0.15
2 1 1 0
0.25
1 2 1
0.25
0.15
X
22
三角形式与指数形式的频谱图对比
第
页
三角函数形式的频谱图
c n c 指数形式的频谱图
n
0 . 25
1
0
2 1
0 . 15
cn ~ n ~
关系曲线称为幅度频谱图 关系曲线称为相位频谱图
可画出频谱图
周期信号频谱具有离散性，谐波性，收敛性
X
14
第
二．指数函数形式的傅里叶级数 页
1．复指数正交函数集 ejn 1 t n0, 1 , 2
2．级数形式 f(t) F(n1)ejn1t
4
n
3．系数
利用复变函数的正交特性
1
0
f
t dt
1
X
9
例3
第 页
周期信号 f t1,0，周t 期1为1，不满足此条件。
t
f t
1
2 1
0
1
2t
X
10
说明
第
页
在一周期内，信号是绝对可积的(T1为周期)
t0T1 f (t) dt t0
与平方可积条件相同，这一条件保证了每一系数Fn都 是有限值，因为
F nT 1Tftejn 1 tdtT 1Tftdt
nA (1)n1
2 T1
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0 Asin1t2 A sin21t
直流
基波
谐波
X
12
第
其他形式 页
余弦形式 f(t)c0 cnco n s1tn
2
n1
c0 a0
an cncosn
cn an2 bn2
bn cnsinn
n
tg 1
bn an
正弦形式 f(t)d0 dnsin n 1tn
F21
1ej 2
4
F1121j1.12ej0.15
F21
1ej4 2
X
21
第
谱线 页
F0 F(0) 1
F1F(1) 1.12 F1F(1)1.12 F2 F(21) 0.5 F2F(21)0.5 指数形式的频谱图
0 0
1 0.15 1 0.15 2 0.25 2 0.25
Fn1
n
0.5 1.12 1 1.12 0.5 21 1 0 1 21
an 2bn2
1 2cn
相频特性
n
tg 1
bn an
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实 取际 正值） 关于 的奇函数（n实 取际 正值） 关于 的偶函数 关于 的奇函数
X
频谱图（单边谱）
幅度频谱
cn ~
cn c1
c0
c3
相位频谱
n ~曲线
O 1 3 1
n
O 1 3 1
第 页
整理 2
2
f( t) 1 1 2 1 j e j 1 t 1 2 1 j e j 1 t 1 2 e j 4 e j2 1 t 1 2 e j 4 e j2 1 t 2 F(n1) ejn1t
n2
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1
F1121j1.12ej0.15
周期信号的频谱分析——傅里叶级数
2
第 页
X
3
第 页
X
4
第 页
X
5
第 页
X
6
狄利克雷（Dirichlet）条件
第
页
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。
条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个；
条件3:在一周期内，信号绝对可积;
T | f (t)| dt
离散谱，谱线
X
18
例5
已 知 f(t) 1 sin1 t 2 c o s1 t c o s 21 t 4 ， 第页
请画出其幅度谱和相位谱。
19
化为余弦形式
f(t) 1 5 c o s( 1 t 0 .1 5 ) c o s 2 1 t 4
三角形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
X
7
例1
第
页
不满足条件1的例子如下图所示，这个信号的周期为2， 它是这样组成的：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯 的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过2，但不连 续点的数目是无穷多个。
f (t)
2
0
2
X
8
例2
第
页
不满足条件2的一个函数是
ftsin2t,0t1
ft
1
1
0
1t
对此函数，其周期为1，有
T1 f (t) ejn1t dt
F(n1)
0
e e dt T1 jn1t jn1t
0
也可写为 Fn
1T1f(t)ejn1tdt
T0
5
X
15
第
说明 页
f(t) F(n1)ejn1t n
Fn1
1T 1f(t)e jn 1 td t T0
4 5
•周期信号可 , 分 区解 间为 上的ej指 n1t 数
Fn
1 T
T
f t dt
X
11
第
例4 页
求周期锯齿波的三角形式的傅里叶级数展开式。
f(t)At T1
T1/2tT1/2
a0
1 T1
T1
2 T1
2
At T1
dt
0
T1 2
f t
A
T1
2
t
an
2 T1
bn
2 T1
T2T 121TA1tcosn1tdt0
1
T1
2 T1
2
TA1 tsinn1tdt
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
tg 1
bn an
an dnsinn bn dncosn
X
13
第
幅度频率特性和相位频率特性 页
周 期 信 号 可 分 解 为 直 流 ， 基 波 （ ） 和 各 次 谐 波 1
（ n1:基 波 角 频 率 的 整 数 倍 ） 的 线 性 组 合 ．
的线性组合。
•如给 F (n 1出 )，ft则 唯一 (4)、 (确 5)式 定 是 ， 一
变换对。 傅立叶级数反变换————（4）
傅立叶级数正变换————（5）
X
16
三．两种系数之间的关系及频谱图 第 页
F(n1)T 1
T 0
f(t)ejn1t
dt
利用欧拉公式
T 10 Tf(t)c o sn1 td t jT 10 Tf(t)s in n1 td t