初中数学讲义（内部资料，严禁外传）八年级上第十一讲三角形11.1 与三角形有关的线段11.1.1 三角形的边11.1.2-11.1.3 三角形的高、中线、角平分线及三角形的稳定性11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角11.2.2三角形的外角11.3 多边形及其内角和教学活动小结复习题11【知识精要】1．三角形的概念由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的图形叫做三角形要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2．三角形的表示通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角．3．三角形中的三种重要线段三角形的角平分线、中线、高线是三角形中的三种重要线段．（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．注意：①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线．②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部．③三角形的角平分线画法与角平分线的画法相同，可以用量角器画，也可通过尺规作图来画．（2）三角形的中线：在一个三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线．注意：①三角形有三条中线，且它们相交三角形内部一点．②画三角形中线时只需连结顶点及对边的中点即可．（3）三角形的高线：从三角形一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的限度叫做三角形的高线，简称三角形的高．注意：①三角形的三条高是线段②画三角形的高时，只需要向对边或对边的延长线作垂线，连结顶点与垂足的线段就是该边上的高．（二）三角形三边关系定理①三角形两边之和大于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．②三角形两边之差小于第三边，故同时满足△ABC三边长a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．注意：判定这三条线段能否构成一个三角形，只需看两条较短的线段的长度之和是否大于第三条线段即可（三）三角形的稳定性三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性．例如起重机的支架采用三角形结构就是这个道理．三角形内角和性质的推理方法有多种，常见的有以下几种：（四）三角形的内角结论1：三角形的内角和为180°．表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°（1）构造平角①可过A点作MN∥BC(如图)②可过一边上任一点，作另两边的平行线（如图）（2）构造邻补角，可延长任一边得邻补角（如图）构造同旁内角，过任一顶点作射线平行于对边（如图）结论2：在直角三角形中，两个锐角互余．表示：如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，那么∠A+∠B=90°（因为∠A+∠B+∠C=180°）注意：①在三角形中，已知两个内角可以求出第三个内角如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）②在三角形中，已知三个内角和的比或它们之间的关系，求各内角．如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度数．（五）三角形的外角1．意义：三角形一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD为△ABC的一个外角，∠BCE也是△ABC的一个外角，2题图D C B AE E A C B A C B A B C A B CE E 这两个角为对顶角，大小相等． 2．性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. ②三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 如图中，∠ACD=∠A+∠B , ∠ACD>∠A , ∠ACD>∠B. ③三角形的一个外角与与之相邻的内角互补 3．外角个数过三角形的一个顶点有两个外角，这两个角为对顶角（相等），可见一个三角形共有六个外角． （六）多边形 ①多边形的对角线2)3(-n n 条对角线 ②n 边形的内角和为（n －2）×180° ③多边形的外角和为360° 考点11.对下面每个三角形，过顶点A 画出中线，角平分线和高.考点21、下列说法错误的是( ).A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点2、下列四个图形中，线段BE 是△ABC 的高的图形是( )3．如图3，在△ABC 中，点D 在BC 上，且AD=BD=CD ，AE 是BC 边上的高，若沿AE 所在直线折叠，点C 恰好落在点D 处，则∠B 等于（ ） A ．25° B．30° C．45° D．60° (1)CB AC B A (2)CB A(3)12.2 三角形全等的判定阅读与思考 全等与全等三角形 12.3 角的平分线的性质 教学活动 小结复习题11【知识精要】1、 能够____________的两个三角形叫做全等三角形。

互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

用符号“≌”表示全等。

2、 全等三角形的性质：_______相等、_______相等、_______相等、___________相等。

3、 全等三角形的判定：①边边边（SSS ）_____________________________________________________________ ②边角边（SAS ）_____________________________________________________________ ③角边角（ASA ）_____________________________________________________________ ④角角边（AAS ）_____________________________________________________________ ⑤斜边直角边（HL ）___________________________________________________________ 4、角平分线的做法⑴以O 为圆心，以适当长为半径画弧，分别交OA 于点M ， 交OB 于点N ；⑵分别以M 、N 为圆心，以大于21MN 的长为半径作弧， 在∠AOB 的内部两弧交于点C ；⑶过O 、C 两点作射线OC ，则射线OC 就是所求的角的平分线。

作图依据：构造△OMC ≌△ONC （SSS ）5、角平分线的性质：________________________________________________________。

即角平分线→距离相等6、角平分线的判定：_________________________________________________________。

即距离相等→角平分线【方法破译】1. 证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，在根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，在设法对它们进行证明；2. 证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这是需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移，翻转，旋转，等倍延长中线，截取等等.3. 有角平分线时通常通过下列几种情况构造全等三角形。

【经典考例】【例1】如图，AB∥EF∥CD,∠ABC＝90°,AB＝CD.那么图中有全等三角形﹙﹚A.5对B.4对C.3对D.2对【变式题组】1.下列判断中错误的是（）A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.有一边对应相等的两个等边三角形全等【例2】已知如图，AB＝DC，AE＝DF，CE＝FB，求证：AF＝DE。

【变式题组】1.如图，AD﹑BE是锐角△ABC的高,相交于点O,若BO＝AC,BC＝7,CD＝2,则AO的长为( )A．2 B. 3 C.4 D.5（第1题图）（第2题图）（第3题图）2.如图，在△ABC中,AB＝AC，∠BAC=90°，AE是过A点的一条直线，AE⊥CE于E，BD⊥AE 于D，DE=4cm，CE=2cm，则BD=（）.3.已知:如上图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过E点作AC的垂线,交CD的延长线于点F,求证:AB=FC.例3. 如图①，△ABC≌△DEF，将△ABC和△DEF的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B 顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.⑴当△DEF旋转至如图②位置,点B (E),C,D在同一条直线上时, ∠AFD与∠DCA的数量关系是.⑵当△DEF旋转至如图③位置时, ⑴中的结论成立吗?请说明理由_________.图①图②图③【变式题组】1.如图,D,E分别为△ABC的AC,BC 边上的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P处,若∠CDE=48°,则∠PAD等于( )A.42° B.48° C.52° D.58°2.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是( )A.△ABC≌△DEFB.∠DEF=90°C.AC=DFD. EC=CF第1题图第2题图第3题图3.一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B,F,C,D,在同一直线上.⑴求证：AB⊥ED：⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.【例4】已知，如图，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。

求证：⑴AP=AQ；②AP⊥AQ.【例5】如图，已知OD 平分∠AOB,在OA ，OB 边上截取OA=OB ，PM ⊥BD,PN ⊥AD.求证：PM=PN.【变式题组】1. 如图,CP ,BP 分别平分△ABC 的外角∠BCM,∠CBN.求证:点P 在∠BAC 的平分线上.2. 如图,BD 平分∠ABC,AB=BC,点P 是BD 延长线上的一点,PM ⊥AD,PN ⊥CD.求证:PM=PN.☆【例6】如图,在△ABC 中, ∠BAC=90°,AB=AC,BE 平分∠ABC,CE ⊥BE.求证:CE=21BD☆【变式题】如图,在△ABC 中, ∠B=60°,AD,CE 分别是∠BAC, ∠BCA 的平分线,AD,CE 相交于点F. ⑴请你判断FE 和FD 之间的数量关系,并说明理由; ⑵求证:AE+CD=AC.【基础演练】一、选择题1．下列说法错误的是（ ）A ．全等三角形对应角所对的边是对应边B ．全等三角形两对应边所夹的角是对应角C ．如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形也全等D ．等边三角形都全等2.在⊿ABC 和⊿A /B /C /中，AB=A /B /，∠A=∠A /，若证⊿ABC≌⊿A /B /C /还要从下列条件中补选一个，错误的选法是（ ）A. ∠B=∠B /B. ∠C=∠C /C. BC=B /C /D. AC=A /C /3.下列各组条件中，不能判定△ABC ≌△A /B /C /的一组是（ ）A 、∠A=∠A /,∠B=∠B /,AB= A /B / B 、∠A=∠A / ，AB= A /B /，AC=A /C / C 、∠A=∠A / ，AB= A /B /，BC= B /C /D 、AB= A /B /, AC=A /C / ,BC= B /C /4．如图,小明把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去 5．如图.从下列四个条件：①BC ＝B ′C ， ②AC ＝A ′C ，③∠A ′CA ＝∠B ′CB ，④AB ＝A ′B ′中，任取三个为条件，余下的一个 为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．有以下条件：①一锐角与一边对应相等；②两边对应相等； ③两锐角对应相等。