2011年中央民族大学数学建模选拔赛题目：北京市水资源短缺风险综合评价水资源短缺风险综合评价摘要北京是全球水资源严重匮乏的大都市之一，北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。
对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险，对社会经济的稳定可持续发展战略的实施具有重要的意义。
对此，本文将主要研究北市水资源的短缺风险的问题，通过层次分析法，假设出该问题的模型，即建立模糊优先关系矩阵与模糊一致矩阵相结合的模型和logistic回归模型，对提供的数据进行抽样分析：求解问题一：探求水资源短缺风险因子。
据近年北京市水资源相关的数据，针对三方面指标分析出缺水主要因子：人口密度、地下水、农业及工业用水。
求解问题二：建立PRM-CRF和Logistic回归两种模型，依据求解结果进一步作出风险综合评价，给出相关性建议。
我们选取扮演北京水资源重要角色的五条代表性河流进行综合分析，并建立两种模型：（1）模型一：PRM-CRF模型。
鉴于缺水风险评定中各指标存在不确定性和模糊性，因此我们建立了该模型的六种基本综合评定指标；并引进单因素模糊优先关系矩阵，然后将该矩阵转化为模糊一致矩阵；从而得到单因素优属度，以及权重值；最终得到各地区的优属度。
据此将其进行比较，数值越大则风险越低，进而划分各地区风险等级。
（2）模型二：logistic回归模型。
鉴于模拟概率分布实现风险的预测通常计算复杂且结果不确定，因此我们将相关数据利用Matlab拟合出曲线，求得回归模型方程的系数，对北京市水资源短缺风险分析。
求解问题三：运用模型二，预测北京水资源短缺风险。
2012年缺水风险都处于中等以上的风险水平，而2013年三种定义指标都处于高风险水平。
求解问题四：基于以上分析，作出建议报告。
我们认为在保证合理规划生活农业用水的前提下，加快南水北调工程的外部供给，再加上加大再生水的利用规模和循环是解决北京市水资源缺乏的最好方法之一。
求解问题五：模型分析。
两种模型比较，都能很好的避免了隶属度的复杂运算，从一定程度上达到了评价的效果。
更加准确的，客观的，全面的说明北京水资源状况，得出结论——北京市水资源的短缺，且提出相应较科学合理的建议。
关键词：水资源、风险因子、模糊优先关系矩阵、模糊一致矩阵、logistic回归模型、南水北调、再生水一、问题的提出与分析1.1问题的提出北京是全世界水资源严重缺乏的大都市之一，其人均水资源占有量不足300m3，为全国人均的1/8，世界人均的1/30，属重度缺水地区，附表中所列的数据给出了1979年至2009年期间北京市水资源短缺的状况。
北京市水资源短缺已经成为影响和制约首都社会和经济发展的主要因素。
尽管政府采取了一系列措施,但是气候变化和经济社会不断发展，水资源短缺风险始终存在。
如何对水资源风险的主要因子进行识别，对风险造成的危害等级进行划分，对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害，这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。
根据相关资料，讨论以下问题：1、评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么？影响水资源的因素很多,例如：气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度，人口规模等。
2、建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价，做出风险等级划分并陈述理由。
对主要风险因子,如何进行调控，使得风险降低？3、对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测，并提出应对措施。
4、以北京市水行政主管部门为报告对象，写一份建议报告。
1.2问题的分析本题针对北京市水资源短缺问题，提出对北京市水资源短缺风险的判定以及对水资源短缺风险做出综合评价和对未来几年水资源的短缺风险进行预测的问题。
我们认为对北京市水资源短缺风险的评价应该从水的使用状况做出分析，也即是通过水资源总量与水资源在各个不同领域的利用情况在进几年的变化趋势来做出综合地评价，评判出最主要的风险因子。
因此我们要找出界定主要风险因子的因素，针对不同影响元素进行分析。
然后依据主要风险因子，假设出合理的模型，带入近年来相关性数据。
这就需要首先探究出描述水资源短缺风险的综合评价标准，量化成数字进行比较，划分出风险等级。
或者利用各年的数据，拟合出具有科学性的曲线。
我们建立的模型应本着运算简便，条理清晰，数值稳定，科学合理的原则，并借助各种软件的功能，得到我们期望的结果。
利用模型，分析出影响北京水资源短缺风险的原因，依据现有数据及模型，对未来两年缺水风险展开预测，得出预测结论。
最后，依据模型的分析，给相关部门提出有见解性的建议，结合实际情况和创新思维，分析出真正可以解决北京水资源风险的重大问题。
“上善若水。
水善利万物，而不争”。
古人以水寓德，以水寄情，对水是生命之源的认识早已达到极致，因此我们更应呼吁人类，提高对节约水资源的重视度。
二、基本假设1.假设北京市的降雨地区分布是近似均匀的。
2.假设北京地表水主要来源为五大河流。
3.假设水资源总量全部为北京市地表水地下水量没有外部供水影响。
4．假设北京市不存在重大自然灾害的影响。
三、符号说明3.1问题一符号说明Va ：每年水资源总量Vau ：每一年水资源使用总量 Va ：每一年水资源缺少量ij V ：单个因素在每年的用水量3.2问题二符号说明3.2.1()f x ：风险发生率e ：自然对数z :Logistic 回归多项式0b ：Logistic 回归多项式中的常数项1b ：Logistic 回归多项式一阶系数3.2.2a: 风险率λ：用水总量:p 水资源总量NS ：为水资源系统工作的总历时t I ：是水资源系统的状态变量￡：边际蓄水度Ｒ：降水量χ:承受力弹性i P ：第i 次失事发生的概率Si：第i 次失事的损失程度NF：为系统失事的总次数VEi：为第i 次缺水的缺水量VDi：是第i 次干旱缺水期的需水量ω：事故周期d u n：表示第n 间隔时间的历时(,)=：是0 到t 时段内属于模式F 的事故数目()N Nμβ：自身调节性ο: 风险度kB:单因素模糊关系矩阵kR：模糊一致矩阵ks：单因素优属度iA：各方案优属iw：权重kθ：降水量四、模型的建立与求解（一）求解问题一——探求水资源短缺风险因子4.1.1问题分析本题要求通过对近几年来北京市水资源相关的数据进行分析，综合评定，然后找出影响北京市水资源的主要几个因子。
附表一中给出了1979年至2000年北京市水资源短缺的状况，其中包括了农业用水、工业用水、生活用水以及总用水量和水资源总量的关系。
附表二中给出了2001-2008年的水资源情况。
通过两个表格中给出的数据，可以看出水资源先是呈现出供不应求的关系，然后供求差值得以减小呈现缓和趋势。
在本题中，我们主要通过对水资源在不同领域中的应用所占据的比值以及重要的影响水资源使用情况的原因来进行综合分析。
4.1.2问题求解(1)针对总体供求关系的分析缺水因子通过对1979年—2008年水资源数据的分析，列出水资源总量Va,水资源总使用量Vau，缺水量Va之间的关系。
用MATLAB绘出数据情况的折线图如下：图一、北京市水资源使用情况总体反应从折线图中可以看出，除1985、1987、1996年三年以外，其余年份都存在缺水现象，缺水情况近似正弦曲线，在1980年1993年和2000年均出现高峰。
从而从整体上反映出了缺水与时间之间的关系并不大，从95年至2000年缺水量呈现上升趋势，之后又有缓和的迹象。
(2)针对用途方面分析缺水因子由于水资源总量Va是固定的，所以只要找出单个因子在每年的用水量ijV占总用水量的比值ijVVa，通过不同因子比值的比较，评判出影响水资源的最主要的因子。
我们从农业用水、生活和其他用水、工业用水三个方面来分析水资源的利用与短缺情况。
得到数据的图像如下：图二，北京市（1978-2008）农业、工业、生活用水情况从图像看出，1978年—2000年期间，农业用水占据主要比例，生活用水较少于工业用水。
然而从2000年以后，农业用水和工业用水比例迅速减少，生活用水开始达到最高比例。
这说明在未来的一段时间里，生活用水可能成为缺水的主要因素。
(3)针对影响水资源正常使用的因素来分析缺水因子从附表3中所给的北京近几年的气象资料可以得到以下降水量变化情况图三、北京市（1978-2008）年降水量除去部分年降水出现高峰之外，总体上降水略呈现出减少的趋势。
而降水主要决定地表水，地表水的总量从附表二中看出约占总水资源的，而其余的接近为地下水。
可以看出地下水的使用量是影响水资源总量的一个重要因素。
再结合附表4对常住人口总数比较得到如下图：图四、北京（1978-2008）常住人口数量北京市常住人口一直呈增长趋势，今总人口已经达到近1700万，巨大的人口密度导致人们生活用水占据了总水量的很大的一部分，这成为了导致缺水的一个主要因素。
其次，通过附表5中给出的污水排放以及处理情况，2008年的污水排放量为132095万立方米，而污水的处理能力还不够，从而也从客观上影响了水资源的使用量。
4.1.3总结通过以上几个方面的分析，可以看出，造成北京市水资源短缺的主要因子有以下几点：1、人口密度过大而导致生活用水过多；2、地下水的使用过多而导致地下水储量不足；3、农业用水不合理，导致水资源浪费，4、工业废水的排放导致水污染，且除污能力有限，造成水资源利用率低。
（二）求解问题二——建立PRM-CRF和Logistic回归两种模型，并作风险评价模型一、PRM-CRF即模糊优先关系一致矩阵法以及风险评价1、问题分析水资源短缺评价是一项多目标的复杂的决策过程，这项工程中涉及因素繁多，指标体系复杂，事物单一性指标差，准确量化困难等，且这些因素之间定性与定量有差异，指标因素与系统之间从在正相关与负相关关系，水资源评价需统筹考虑多指标因素的属性，在层次分析法中对不同的因素分析需要用不同的方法计算其隶属度，而隶属度的计算是比较困难的，计算中会往往融入主观色彩，在应用中人们发现了层次分析法的不足：（1）检验判断矩阵是否具有一致性非常困难；（2）当判断矩阵不具有一致性时，不排除要经过若干次调整，检验，再调整，再检验过程才能是判断矩阵具有一致性的可能；（3）检验判断矩阵是否具有一致性大的判断标准：CR<0.1缺乏科学依据；（4）判断矩阵的一致性与人类的思维判断的一致性有着明显差异。
而我们通过模糊一直矩阵可以有效地避免模糊综合评判中的隶属度值的计算，在模糊一直矩阵中，可以针对每一指标因素，通过两两比较的方法，建立优先关系矩阵（Precedence relationship matrix）及模糊一致矩阵(Fuzzy consistent matrix)，具体模型建立如下：2、PRM-CRF模型的建立在模糊一致矩阵中建立一个单因素模糊优先关系矩阵，然后将单因素模糊优先关系矩阵PRM转化为模糊一致矩阵FCM。