第一章三角形的证明【单元分析】本章是八年级上册第七章《平行线的证明》的继续，在“平等线的证明”一章中，我们给出了8 条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论。
运用这些基本事实和已经学习过的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。
在这之前，学生已经对图形的性质及其相互关系进行了大量的探索，探索的同时也经历过一些简单的推理过程，已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章进一步严格证明三角形有关定理打下了基础。
【单元目标】1.知识与技能（1）等腰三角形的性质和判定定理；（2）直角三角形的性质定理和判定定理；2.过程与方法（1）会运用等腰三角形的性质和判定定理解决相关问题；（2）直角三角形的性质定理和判定定理解决简单的实际问题；3.情感态度与价值观（1）经历由情景引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践的过程，培养学数学、用数学的意识与能力；（2）感受数学文化的价值和中国传统数学的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情。
【单元重点】在证明过程中，进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
【单元难点】明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等。
【教学思路】1.对于已有命题的证明，教学过程中要注意引导学生回忆过去的探索、说理过程，从中获取严格证明的思路；对于新增命题，教学过程中要重视学生的探索、证明过程，关注该命题与其他已有命题之间的关系；对于整章的命题，注意关注将这些命题纳入一个命题系统，关注命题之间的关系，从而形成对相关图形整体的认识。
2.对于证明的方法，除了注重启发和回忆，还应注意关注证明方法的多样性，力图通过学生的自主探索，获得多样的证明方法，并在比较中选择适当的方法。
3.证明过程中注意揭示蕴含其中的数学思想方法，如转化、归纳、类比等。
4.作为初中阶段几何证明的最后阶段，教学中应要求学生掌握综合法和分析法证明命题的基本要求，掌握规范的证明表述过程，达成课程标准对证明表述的要求。
1.1 等腰三角形【教学目标】1．知识与技能理解作为证明基础的几条公理的内容，应用这些公理证明等腰三角形的性质定理。
2．过程与方法经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。
3．情感态度与价值观启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系。
【教学重点】经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程。
【教学难点】用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。
【教学方法】讲授法【课时安排】4课时第一课时【教学目标】1．知识与技能能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2．过程与方法经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。
3．情感态度与价值观启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系。
证明：∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），又∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），∴∠C=180°-(∠A+∠B)，∠F=180°-(∠D+∠E)，∴∠C=∠F（等量代换）。
又BC=EF（已知），∴△ABC≌△DEF（ASA）。
【教学反思】第二课时【教学目标】1．知识与技能进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性。
2．过程与方法让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力。
3．情感态度与价值观体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性。
【教学重点】用面积法验证勾股定理。
【教学难点】用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论。
已知：在ΔABC中，AB=BC=AC．求证：∠A=∠B=∠C=60°.证明：在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角)．同理：∠C=∠A，∴∠A=∠B=∠C（等量代换）．又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理），∴∠A=∠B=∠C＝60°．【教学反思】第三课时【教学目标】1．知识与技能探索等腰三角形判定定理。
2．过程与方法理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明。
3．情感态度与价值观培养学生的逆向思维能力。
【教学重点】理解等腰三角形的判定定理。
【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，AD ∥BC 且∠1=∠2． 求证：AB=AC ．证明：∵AD ∥BC ，∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)． 又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C ． ∴AB=AC(等角对等边)． 【教学反思】第四课时【教学目标】1．知识与技能理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30º角的直角三角形性质及其证明，并能利C 21B A D用这两个定理解决一些简单的问题。
2．过程与方法经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
3．情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】等边三角形判定定理的发现与证明。
【教学难点】了解反证法的基本证明思路，并能简单应用。
北师大版八年级数学下册教案北师大版 八年级数学下册教案已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=12 AB ．求证：∠BAC=30°证明：延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC ．∴△ACB ≌△ACD(SAS)． ∴AB=AD ．∵CD=BC ，∴BC=12 BD ．又∵BC=12AB ，∴AB=BD ．∴AB=AD=BD ，即△ABD 是等边三角形． ∴∠B=60°．在Rt △ABC 中，∠BAC=30°． 【教学反思】1.2 直角三角形【教学目标】1．知识与技能（1）掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
（2）结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
2．过程与方法（1）进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．D (2)(1)B C AC B AD（2）进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力。
3．情感态度与价值观体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣。
【教学重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。
【教学难点】应用定理解决与直角三角形有关的问题。
【教学方法】讲授法【课时安排】2课时第一课时【教学目标】1．知识与技能掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。
2．过程与方法进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
3．情感态度与价值观在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
【教学重点】掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法。
【教学难点】结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
求证：a2+b2＝c2．证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC ≌△BED．∴∠BDE ＝90°，ED ＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)． ∴四边形ACDE 是直角梯形．∴S 梯形ACDE ＝12 (a+b)(a+b) ＝ 12(a+b)2．∴∠ABE ＝180°－(∠ABC ＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，AB ＝BE ．∴S △ABE ＝12 c 2∵S 梯形ACDE ＝S △ABE +S △ABC +S △BED ， ∴12 (a+b) 2＝ 12 c 2 + 12 ab + 12 ab, 即12 a 2 + ab + 12 b 2＝12c 2 + ab, ∴a 2+b 2＝c 2【教学反思】第二课时【教学目标】1．知识与技能能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。
2．过程与方法进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维。
3．情感态度与价值观进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
【教学重点】能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理。
【教学难点】进一步理解证明的必要性。
cb EDCA B a已知：R △ABC 和Rt △A'B ' C'，∠C=∠C'=90°，BC=B'C'，BD 、B'D'分别是AC 、A'C'边上的中线且BD —B'D' (如图)．求证：Rt △ABC ≌Rt △A'B'C'． 证明：在Rt △BDC 和Rt △B'D'C'中， ∵BD=B'D',BC=B'C',∴Rt △BDC ≌Rt △B 'D 'C ' (HL 定理)． CD=C'D'．又∵AC=2CD ，A 'C '=2C 'D '，∴AC=A'C'．∴在Rt △ABC 和Rt △A 'B 'C '中，∵BC=B'C '，∠C=∠C '=90°，AC=A'C '， ∴Rt △ABC ≌CORt △A'B'C(SAS)． 【教学反思】1.3 线段的垂直平分线【教学目标】1．知识与技能证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理. 2．过程与方法经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力．丰富对几何图形 的认识。
3．情感态度与价值观通过小组活动，学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果。
【教学重点】运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题。
'D A 'B 'C 'C D B A【教学难点】垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用。