译文学院：船舶与海洋工程学院专业：船舶与海洋工程学号：姓名：指导教师：江苏科技大学2011 年4 月 8 日基于船舶稳定性的随机动力系统方法的研究Ludwig Arnold1, Igor Chueshov2, and Gunter Ochs11大学3部，动力系统研究所信箱33 04 40,28334不来梅，德国邮箱arnold@math.uni-bremen.de2 哈尔科夫大学，力学与数学系4 Svobody Sq., 310077哈尔科夫，乌克兰摘要：本文首先解释如何由基本原理推出船舶随机横摇运动的原型方程式。

然后，运用随机动力系统理论的概念，对两个简单横摇运动的非线性模型进行分析数值研究。

与此对应的，对船舶进行噪声的周期性作用，结果表明，导致船舶倾覆（即随机吸引子的消失）的作用，并非优于一些分叉的作用，而是毫无征兆的突然发生。

关键词：随机海浪，随机场，船舶稳定性，船舶倾覆，横摇运动，随机动力系统，随机稳定性，随机分支，随机吸引子，随机不变集，Conley指数MSC2000：34F05, 37H15, 37H20, 93E15为主；60H10, 70L05为辅1 引文现有的保障船舶稳定性和防止船舶倾覆的章则和标准（详见国际海事组织（IMO）准则）都是经验性的，并以船舶自我复原性能为基础，而且仅仅考虑到静水力的作用。

详情请见Kreuzer and Wendt [9, p. 1836]。

这些静态的标准都忽略了船舶运动、海浪和风的作用，显然不能保证船舶的整体稳定。

由最近伦敦保险人协会给出的损失数据和它们发生的原因对比表明：按照这些标准，每年至少有30艘排水量超过500GT的船舶由于不能抵御严酷的天气而有所损失。

因此，研究人员一致认为，应该采用船舶海洋系统的静水力模型，把海洋看作一个随机场，把船舶看作一个有六个自由度的刚体，运用非线性动力学的方法和随机动力系统的理论，对这些标准进行修改。

现有的船舶动力的（确定性的和随机的）研究现状已经很好地记录在《船舶非线性动力学》（Phil. Trans. Royal Soc. London（系列A），Spyrou and Thompson主编）【19】的主要章节中。

这一卷包括Spyrou和Thompson扩充的概述，并且介绍了这个领域的发展和未来的研究方向，最主要便是“将海浪的概率性特征融入非线性动力学的研究”（p.1755），这篇中我们已经系统地将这个报告【2】处理成读者参阅，并且是一个压缩的版本。

后面的文章我们将把上文提到的这两篇章节和报告作为默认的参考文献，如有必要将引用其他的文献。

这篇文章的主旨如下：在简绍（Sect.1）之后，本文将介绍如何通过一连串近似和简化的控制量（Sect.2），从基本原理中得到在任意海浪中船舶横摇运动的随机非线性泛函微分原型方程式。

接着，本文将对随机动力系统的理论（Sect.3）进行一个简要介绍。

本文主旨在于运用随机动力系统理论的概念，对简单横摇运动的非线性模型进行分析数值研究（Sect.4）。

致谢本文是以DFG-Schwerpunkt programm的“Interagierende stochastische Systeme von hoher Komplexit¨at” (SPP1033)项目为框架，由“Modellierung von Schiffsbewegungen durch zuf¨allige dynamische System” (AR 137/15-1)研究计划发展而来的。

万分感谢这些项目的支持。

本文同样也与上述的DFG-Schwerpunkt programm中的“Dynamik unendlichdimensionaler stochastischer Systeme”项目合作并获得帮助。

最后应该感谢Edwin Kreuze教授（汉堡哈伯格科技大学）和他的合作者以及他们提出的大量有价值的建议。

2 在任意海浪中的船舶运动在这一部分力，本文将介绍如何通过一连串近似和简化的控制量，从基本原理中得到实验中的船舶横摇运动的随机非线性泛函微分原型方程式。

2.1 一般模型首先用简短的文字来论述由流体（水）和部分浸湿的物体B（船）组成的一个机械系统运动的一般方程式。

假设流体是不可压缩的，并且有无旋运动；流体的自由表面在水平方向上无限延伸。

把船体看成刚体，并且被描述为在外力作用下做强制运动或者是自由运动。

这种形式的系统运动的精确方程式已经被广泛熟知了（见例John[8]）。

这种规定下的流体的状态完全是用一个速度势函数Φ满足拉普拉斯方程。

随机海浪是一个高斯时空静止的随机场，它决定了Φ的取值在一个规定的范围内（详见[2，Sect.2]）。

流体的边界包括一个固定的底面，自由液面SA，和物体B的浸没表面SB。

每一个表面都要符合以下条件，即正常速度下的粒子和压力应当延续到表面边界（动力学中的动态边界条件）。

假设作用在表面SA上的压力是不变的，且等于大气压。

浸没表面SB满足速度连续的运动学条件，再通过刚体B的角速度和自身重力速度，我们得出了一般倒数Φ。

沿SB表面的压力连续的动力学边界条件，是把B在重力、浸湿面上的液体压力、规定外力作用下移动作为考虑因素。

这就产生了表示B运动的六个微分方程（牛顿定律和动量守恒定律）。

其中六个变量包括三个平移变量x(浪涌)，y（横摇），z（垂荡），和三个角坐标φ（绕纵向x轴），θ（仰角），ψ（首摇）。

讲上述文字转化成公式请见【2, Sect. 3】。

然而，这个问题的一般性不强，很少能严格体现在对一个运动的讨论或对一个方程的详解的数学问题上。

由于φ是一个势方程的潜在解，故这些问题是由在变量范围内的非线性边界条件决定。

由于这个普遍问题的分析棘手性，我们不得不把它诉诸于一些近似的步骤，见【2】。

将全部六个模型变量中的三个孤立出来的方法将在下一部分里呈现。

2.2 在舷浪中横摇垂荡横荡间的相互干扰如果要解出方程中的横摇变量φ，垂荡变量z和横荡变量y，我们就应该采用下列的条状理论中的极限形式：我们假设船体是圆柱体并且无限长。

因此这个速度势φ是一个只有两个空间变量（横向和垂向）的函数，并且自由表面SA是由空间变量（横向）决定的函数。

假设为舷浪，即海浪方向与船长方向成直角。

为了解出由φ，y，z组成的方程，以及由衍射、辐射引起的水压力及其动力，我们必须通过大量的简化的假设和近似值，正如【2,Sect.4】（这里就不重述了）中所做的，最后再经过冗长的计算。

这里，m是指质量，I指船舶的次要惯性矩，（Yc，Zc）是在一个固定平面内重心的坐标，y = Yc表示横荡，z = η(Yc, t) −Zc表示实际垂荡，φ是横摇角度，ε是参数，ξ(t)是一个固定的随机函数，η(y, t)是表示海面自由表面SA方程式。

后者被假设为一个有不变空间向量y的静止的高斯随机场，如【2，Subsect.2.3】中所提到，即由以下形式的微小舷浪组成。

式中κ在埃尔瑞关系中是频率ω的函数，ω由ω2= gκtanh(κD)，D表示海水深度。

2.3 横摇运动的方程式横摇可能是非线性最明显的，并且单独看来最形象的。

如果我们假设在横摇垂荡横荡模型中，实际的横摇和横荡是很小的，那么我们就可以在（3）式中让y=0,得到（重新缩放比例后）横摇运动角度的方程式如下：式中Mext是用决定性理论计算得到的。

举个例子，对于一个简谐波η(y, t) = Acos(κy−ωt)，我们得到如下等式：这里补充几点：（1）一个线性和非线性的摩擦集合（考虑到粘性横摇阻尼不会被势理论影响），（2）弹簧恢复到平衡位置的瞬间，即α2φ−α1φ3型式，临界横摇角度为零，（局部近似看成复原力矩曲线）。

（3）进一步外力强迫简谐运动F sinωt（F很小）。

附加的摩擦力和恢复力被应用于（4），有（1）（2）两种型式，并且部分是根据尺寸来定，它们被船舶动力领域广泛应用和接受，如见Price and Bishop[15, p. 295], Faltinsen[5, p. 97–98] and Wendt [22, p. 44]。

在深水区（D=+∞）,艾瑞尔关系变成了散状分布关系ω2 = gκ，并且假设是正常的。

为了在（4）中得到一致解，我们通过Thompson, Rainey和Soliman[21]从基本原理恢复原始模型。

经过重新缩放比例后，我们得到了所谓的英式模型：式中β0 > 0, β1 ≥ 0,α > 0。

研究船舶在零速度时的横摇运动和屈服与纵向简谐波（尾波或首波）得到了所谓的有参数影响的巴西模型（见Neves, P´erez and Valerio [13]）。

因此，我们可以说，舷浪对横摇方程有附加的作用，也有参数噪声作用，而首波和尾波引起参数噪声。

本文现在将对方程（5）和方程（6）在随机动力系统理论的框架内进行系统的分析，这个再Sect.4中已经做了一部分了。

关于横摇运动模型进一步的研究，包括随机性研究已经有Roberts and Vasta [17] and Moshchuk, Ibrahim and Khasminskii【11, 12】在做。

3 随机动力系统的方法：简要回顾3.1 基本设置首先要做一些基本定义（随机动力系统的一般理论的系统和详细的介绍见【1】）。

随机动力系统是由加入固定噪声输入得出的微分方程产生的。

一个随机动力系统包括两部分：（i）噪声是模拟一个定长流θ= (θt)t∈R，它建立在一个概率空间内(Ω, C, P)。

（ii）动力学本身是由一个可测的映射得到：例如——如果w是固定的，那么（t, x）到f(t, w)x的映射是连续的，——f满足余循环方程和式中，。

我们认为f是在范围内的，建于公制动力系统之上的随机动力系统。

这种循环的性质导致产生了倾斜这就将可测量的（半）水流定义为了一个乘积空间。

产生一个随机动力系统可以通过两种重要的方式：在Itˆo或Stratonovich意义上建立推测微分方程，或叫做随机微分方程。

随机微分方程可以写成下面这种形式：，式中f, g1, ..., gn是在到范围内的利普希茨连续函数，W1, ...,Wn是独立的D维Wiener过程。

Ω是在Wiener过程之下（双面）的路径，在到的范围内取值为0（在Wiener测度P下定义的0），Ω在由定义的时间位移内的不变。

余循环映射的结果f(t,ω)x表示方程的解法，包括t时间后的初始值x，且此值是在Wiener过程特解ω的条件下的。

这种“路径”解的存在是一个完善技术的保证，见Arnold 【1,Chap.1.3】。

一个随机微分方程是一个非独立常微分方程的集合，其中噪声是作为一个右边的参数，即，式中F范围为到。

这里(Ω, θ)可以表示在概率空间内的任意定长流。