求 f的特征值、特征向量。
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10
特征多项式的计算
定义：假设矩阵 A aij nn ，第1 i1 i2 ik n
行，则 A 的第 i1, i2 , , ik 行，第 i1, i2 , , ik 列交 叉处的元素构成的 k 阶子式称为 A 的一个 k 阶
主子式。
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11
主子式与子式
a21
a22
a23
a24
a25
a31 a41
a32 a42
a33 a43
a34 a44
a35 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a22 a23 a25 a32 a33 a35 a52 a53 a55
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13
特征多项式的计算
定 理 2 ： 设 A a ij n n,则
下的矩阵是 BP1AP.
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8
例1
x y f H(o C 3,m C 3)定义 X为 (x,y,： z)T, f ( X ) x y 2 z
求 f的特征值、特征向量。
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9
例2
f Ho (C 2 m 2,C 22)定义 X 为 C 2 ： 2, f (X)11 11X
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18
例4
设A33 54.求A100.0
C()223
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19
例5
1 2 2 已知A1 0 3，求A100。
1 1 2
C()(1)(1)2
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20
最小多项式
定 义 ： 矩 阵 A 的 次 数 最 低 的 、 最 高 次 项 系 数 为 一 的 化 零 多 项 式 称 为 A 的 最 小 多 项 式 .
则称 0 是 f 的特征值，
是相应于特征值 0 的特征向量。
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5
线性变换的可对角化问题
设V 是 n 维线性空间， f 是线性空间V 上的 线性变换，则存在V 的基使得 f 的矩阵是对角阵 当且仅当 f 有 n 个线性无关的特征向量。
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6
线性变换的特征值、特征向量的计算
设 f 在 V 的 基 1,2 , ,n 下 的 矩阵 是 A ， 若 0 F ， V 在基1,2 , ,n 下的坐标是 x0 ，则 f () 在基1,2 , ,n 下的坐标是 Ax0 。故 f () 0 Ax0 0 x0 ， 即： 是 f 的属于特征值 0 的特征向量
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21
定理5
设 m (x ),C (x )分 别 是 矩 阵 A 的 最 小 多 项 式 和 特 征 多 项 式 ，
则 m (x )|C (x ) ， 并 且 ， 对 0 C ,m (0 ) 0 C (0 ) 0 。
第三章
矩阵的相似标准形
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1
矩阵与线性变换
本章的目的： 对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。 对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一
组基，使得线性变换的矩节 特征值与特征向量
假设 A 是 n 阶方阵， 0 是数，若存在 n 维
列向量 ，使得 ， 且 A 0
a11 a12 a13 a14 a15
a21
a22
a23
a24
a25
a31
a32
a33
a34
a35
a41 a42 a43 a44 a45
a51 a52 a53 a54 a55
a21 a22 a24 a31 a32 a34 a51 a52 a54
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12
主子式与子式
a11 a12 a13 a14 a15
命题 A： (aij)nn的 若特1 征 ,2, 值 ,n,则 为
n
tr(A) i,
n
A
i 1
i
.
i1
推论 A ,B 相 ：似 若 t(rA )， t(rB )则 A ,B .
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15
例3 a1
b1
设a2, b2, AH.求A的特征值。
an
bn
2 .r(A) B r(A )r,(B );
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17
第二节 Hamilton-Cayley定理
定 理 3 ： 设 A F n n ,C () I A . 则 C ( A ) O .
定 理 4 ： 设 f H o m ( V , V ) , C ( ) 是 f 的 特 征 多 项 式 ， 则 C ( f ) O .
Sc引 hu理 r A ： Cnn对 ,存在U 酉 使U 矩 得 HA阵 是 U 上三
则称 0 是 A 的特征值，
是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
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3
矩阵的相似对角化
假设 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的 充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量
特征向量。
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4
线性变换的特征值、特征向量
设 f 是线性空间V 上的线性变换，假设
0 F ， V 。若 f () 0
I A n b 1n 1 b 2n 2 b n 1 b n
其中 bj ， (1)j （ A的 j阶主子式）
n
特别地b1， aii, bn (1)n A. i1
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14
矩阵的迹
n
定 义 ： 设 A (a ij)n n ,称 a ii为 A 的 迹 ， 记 为 tr(A ). i 1
I A n b 1n 1 b 2n 2 b n 1 b n
n
特别地b1， aii, bn (1)n A.
i1
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16
化零多项式
设 f(x)是 多 项 式 。 若 f(A)O, 则 A的 特 征 值 均 是 f(x)0的 根 .
例：已知A2A.证明： A的特征值只能是0或 1。
性 质 1 ： 若 m ( x ) ,( x ) 分 别 是 矩 阵 A 的 最 小 多 项 式 、 化 零 多 项 式 ， 则 m ( x )| ( x ) .
性质2：任意矩阵的最式 小是 多唯 项一的 性质 3：如果矩 A,B阵 相似，A,则 B有相同的最小多项式。
定义：（线性变换的小 最多项式）
当且仅当 x0 是 A 的属于特征值 0 的特征向量。
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7
定理1
若 A,BCnn是相似I的 A ， I则 B.
注： 1.定理的逆命题不成立；
2.可定义线性变换的特多征项式。
特 别 是 ,若 f H o m ( V ,V )在 基 1 ,2 , ,s 下 的 矩 阵 是 A ,
则 f在 新 的 基 (1 ',2 ', , s ') (1 ,2 , , s)P