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高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(3)直线 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2 相交的条件是 k1≠k2. 直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 相交的条件是 A1B2≠A2B1．
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点到直线的距离 点 P(x0，y0)到直线 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为零)的距离 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|．
【答案】 (1)x＝2 和 3x－4y－10＝0 (2)2x－y－5＝0，最 大距离为 5 (3)不存在
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探究 2 (1)求点到直线距离时，直线方程一定化成 Ax＋By ＋C＝0 的形式．
(2)求两平行线间的距离时，一定化成 l1：Ax＋By＋C1＝0， l2：Ax＋By＋C2＝0 的形式．
授人以渔
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题型一 两条直线的平行与垂直 例 1 已知直线：l1：ax＋2y＋6＝0 和直线 l2：x＋(a－1)y＋ a2－1＝0. (1)试判断 l1 与 l2 是否平行； (2)l1⊥l2 时，求 a 的值．
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第2课时 两直线的位置关系
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1．能根据两条直线斜率判定这两条直线平行或垂直或相交． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两 条平行直线间的距离．
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(2)作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且 与 PO 垂直的直线，如图．
由 l⊥OP，得 klkOP＝－1， 所以 kl＝－k1OP＝2.
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【思路】 运用两条直线平行或垂直的条件求解，要注意斜 率为 0 或斜率不存在的情形．
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【解析】 (1)方法一：当 a＝1 时，
l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1 不平行于 l2； 当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不平行于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时，两直线可化为
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(2)方法一：当 a＝1 时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1 与 l2 不垂直，故 a＝1 不成立； 当 a＝0 时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1 不垂直于 l2； 当 a≠1 且 a≠0 时， l1：y＝－2ax－3，l2：y＝1－1 ax－(a＋1)， 由(－2a)·1－1 a＝－1⇒a＝23.
l1：y＝－2ax－3，l2：y＝1－1 ax－(a＋1)，
l1∥l2⇔－2a＝1－1 a，
解得 a＝－1.
－3≠－（a＋1），
综上可知，a＝－1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行．
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方法二：由 A1B2－A2B1＝0，得 a(a－1)－1×2＝0. 由 A1C2－A2C1≠0，得 a(a2－1)－1×6≠0. ∴l1∥l2⇔aa（（aa－2－11））－－11××26＝≠00，. ⇔aa2（－aa2－－21＝）0≠，6⇒a＝－1. 故当 a＝－1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行．
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思考题 1 已知两直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋ 3y＋2m＝0，根据下面 l1 与 l2 的位置关系，求实数 m 的值或取值 范围．
(1)相交； (2)垂直； (3)平行； (4)重合．
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【解析】 (1)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 相交； 当 m≠0 时，由－m1 ≠－m－3 2，得 m≠－1 且 m≠3. (2)当 m＝0 时，显然 l1 与 l2 不垂直； 当 m≠0 时，由(－m1 )·(－m－3 2)＝－1，得 m＝12.
如果有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多 少一定要特别注意．
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(2)设 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， 则 l1∥l2 的必要条件是 A1B2＝A2B1.(不充分)；l1⊥l2⇔A1A2 ＋B1B2＝0.
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A．x－2y－1＝0
B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0
D．x＋2y－1＝0
答案 A
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3．若直线 ax＋y＋5＝0 与 x－2y＋7＝0 垂直，则实数 a 的值
为( )
A．2
1 B.2
C．－2
D．－12
答案 A
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题型二 距离公式 例 2 已知点 P(2，－1)． (1)求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； (2)求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离 是多少？ (3)是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求 出方程；若不存在，请说明理由．
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两平行线间的距离 两平行直线 l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2) 间的距离为 d＝ |CA1－2＋CB2|2．
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直线系问题 与 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程(包括原直线)：Ax＋By＋ λ＝0(λ 为待定系数)． 若所求直线过 P(x0，y0)点，且与 Ax＋By＋C＝0 平行，则方 程为：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 与 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程为：Bx－Ay＋λ＝0(λ 为 待定系数)．
由直线方程的点斜式，得 y＋1＝2(x－2)，即 2x－y－5＝0.
所以直线 2x－y－5＝0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直
线，最大距离为|－5|＝ 5
5.Biblioteka 第39页高考调研 ·高三总复习 ·数学 （理）
(3)由(2)可知，过点 P 不存在到原点的距离超过 5的直线， 因此不存在过点 P 且到原点的距离为 6 的直线．
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(3)若 l1 与 l2 平行，则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ≠－23m， ∴m＝－1. (4)若 l1 与 l2 重合，则－m1 ＝－m－3 2且－m6 ＝－23m， ∴m＝3.
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【答案】 (1)m≠－1 且 m≠3 (2)m＝12 (3)m＝－1 (4)m＝3
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方法二：由 A1A2＋B1B2＝0，得 a＋2(a－1)＝0⇒a＝23. 【答案】 (1)a＝－1 时，l1∥l2，否则 l1 与 l2 不平行 (2)a ＝23
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探究 1 (1)若直线 l1 和 l2 有斜截式方程 l1：y＝k1x＋b1，l2： y＝k2x＋b2，则直线 l1∥l2⇔kb11＝≠kb22，，l1⊥l2 的充要条件是 k1·k2 ＝－1.
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思考题 2 (1)(2016·北京东城区)若 O(0，0)，A(4，－1) 两点到直线 ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________．
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【解析】 由题意，得 a26＋a4＝|4a－a2a＋2＋a46|，即 4a－a2＋6 ＝±6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所以 a＝－2 或 4 或 6.
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答案 x＋2y－3＝0 解析 在直线 x－2y＋1＝0 上任取两点(1，1)，(0，12)，这两 点关于直线 x＝1 的对称点分别为(1，1)，(2，12)，过这两点的直 线方程为 y－1＝－12(x－1)，即 x＋2y－3＝0.
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(2)两条直线的垂直． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1． ②若两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零， 则两条直线垂直． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1⊥l2 ⇔A1A2＋B1B2＝0．
判定两条直线的位置关系 (1)两条直线的平行． ①若 l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1∥l2⇔k1＝k2 且 b1≠b2，l1 与 l2 重合⇔k1＝k2 且 b1＝b2． ②当 l1，l2 都垂直于 x 轴且不重合时，则有 l1∥l2． ③若 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1∥l2 ⇔A1B2＝A2B1 且 B1C2≠B2C1，l1 与 l2 重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2， C1＝λC2(λ≠0)．
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4．已知点 P 在直线 x＋2y＝5 上，且点 Q(1，1)，则|PQ|的最