9．设直线 L 为
x 3y 2z 0 2x y 10z 3 0
平面 π 为 4x－2y＋z－2＝0，则直线和平面的关系是（ ）。[2012 年真题] A．L 平行于 π B．L 在 π 上 C．L 垂直于 π
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D．L 与 π 斜交
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10．设直线方程为 x＝y－1＝z，平面方程为 x－2y＋z＝0，则直线与平面（ ）。[2011 年真题]
A．重合 B．平行不重合 C．垂直相交 D．相交不垂直 【答案】B 【解析】直线的方向向量 s＝（1，1，1），平面的法向向量 n＝（1，－2，1），s·n＝1 －2＋1＝0，则这两个向量垂直，即直线与平面平行。又该直线上的点（0，1，0）不在平 面上，故直线与平面不重合。
i jk 3 2 1 14i 14 j 14k
1 4 5
所以
(14)2 (14)2 (14)2 14 3
5．过点（1，－2，3）且平行于 z 轴的直线的对称式方程是（ ）。[2017 年真题]
x 1
A．
y
2
z 3 t
B．（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1
C．z＝3
D．（x＋1）/0＝（y－2）/0＝（z＋3）/1
【答案 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

【解析】由题意可得此直线的方向向量为（0，0，1），又过点（1，－2，3），所以该 直线的对称式方程为（x－1）/0＝（y＋2）/0＝（z－3）/1。
11．yOz 坐标面上的曲线
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y2 z 1 x 0
绕 Oz 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是（ ）。[2016 年真题]
A．x2＋y2＋z＝1
B．x2＋y2＋z2＝1
C． y2 x2 z2 1 D． y2 x2 z2 1
sin 2 2
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4．已知向量 α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），则|α×β|等于（ ）。[2013 年真题]
A．0 B．6 C．14 3 D．14i＋16j－10k 【答案】C 【解析】因为
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【解析】D 项，平面方程 x＋1＝0 化简为 x＝－1，显然平行 yOz 坐标面，且不重合。 ABC 三项，均不平行于 yOz 坐标面。
8．已知直线 L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面 π：－2x＋2y＋z－1＝0， 则（ ）。[2013 年真题]
3 7
3．若向量 α，β 满足|α|＝2，|β|＝ 2 ，且 α·β＝2，则|α×β|等于（ ）。[2016 年
真题] A．2
B． 2 2 C． 2 2
D．不能确定 【答案】A 【解析】设两向量 α，β 的夹角为 θ，根据 α·β＝2，解得：
cos 2 2
故 |α ×β|＝|α ||β|sinθ ＝2。
2．设向量 α 与向量 β 的夹角 θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，则模|α＋β|等于（ ）。 [2018 年真题]
A． 8 B． 7 C． 6 D． 5
【答案】B
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【解析】计算得：
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2
2 2 2 2 2 cos 2 12 21 2 cos 22
【答案】C
【解析】直线 L 的方向向量为：
ij k s 1 3 2 28i 14 j 7k
2 1 10
即 s＝（－28，14，－7）。平面 π 的法线向量为：n＝（4，－2，1）。由上可得，s、
n 坐标成比例，即（－28）/4＝14/（－2）＝（－7）/1，故 s∥n，直线 L 垂直于平面 π。
6．设直线方程为
x t 1
y
2t
2
z 3t 3
则该直线（ ）。[2010 年真题]
A．过点（－1，2，－3），方向向量为 i＋2j－3k
B．过点（－1，2，－3），方向向量为－i－2j＋3k
C．过点（1，2，－3），方向向量为 i－2j＋3k
D．过点（1，－2，3），方向向量为－i－2j＋3k
A．L 与 π 垂直相交 B．L 平行于 π 但 L 不在 π 上 C．L 与 π 非垂直相交 D．L 在 π 上 【答案】C 【解析】直线 L 的方向向量为±（3，－1，2），平面 π 的法向量为（－2，2，1），由 于 3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直线与平面不垂直；又 3×（－2）＋（－1）×2＋2×1 ＝－6≠0，所以直线与平面不平行。所以直线与平面非垂直相交。直线 L 与平面 π 的交点 为（0，－1，3）。
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第一章 高等数学
第一节 空间解析几何
单项选择题（下列选项中，只有一项符合题意）
1．设 α、β 均为非零向量，则下面结论正确的是（ ）。[2017 年真题] A．α×β＝0 是 α 与 β 垂直的充要条件 B．α·β＝0 是 α 与 β 平行的充要条件 C．α×β＝0 是 α 与 β 平行的充要条件 D．若 α＝λβ（λ 是常数），则 α·β＝0 【答案】C 【解析】AC 两项，α×β＝0 是 α 与 β 平行的充要条件。B 项，α·β＝0 是 α 与 β 垂直 的充要条件。D 项，若 α＝λβ（λ 是常数），则 α 与 β 相互平行，则有 α×β＝0。
【答案】D
【解析】把直线方程的参数形式改写成标准形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）
/（－3），则直线的方向向量为±（1，2，－3），过点（1，－2，3）。
7．下列平面中，平行于且与 yOz 坐标面非重合的平面方程是（ ）。[2018 年真题] A．y＋z＋1＝0 B．z＋1＝0 C．y＋1＝0 D．x＋1＝0 【答案】D