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湖北浠水县巴驿中学（436208）陈铿
初中我们学习了简单的三角函数，并应
用它解直角三角形。

在实际生活中，利用三
角函数解三角形，应用广泛，因此我们必须
掌握三角函数的基础知识，正确理解三角函
数定义，灵活运用它解决实际问题。

下面利
用三角函数定义，推导出两个重要三角函数
公式，供数学爱好者参考。

例题△ABC中,AB=AC,∠BAC=2α。

求证：（1）sin2α=2sinα·cosα；
（2）sin2
α
=2cos
1α
-。

证明（1）当0 0＜2α
90 0时，作△ABC的高
AD、BE（如图）。

设AB=
AC=1（单位长度）。

由条件知：BD=
2
1
BC，∠BAD=2
1
∠BAC
=α，∠EBC=∠DAC=α，
在Rt△ABD中，
BD=ABsin∠BAD=sinα，
AD=ABcos∠BAD=cosα，
∴BC=2 sinα，∵
在Rt△AEB中，
BE= ABsin∠BAC= sin2α，
由三角形面积公式可得
2
1
B C·AD=2
1
AC·BE，
∴2
1
·2 sinα·cosα=2
1
·1
∴sin2α=2 sinα·cosα
又由AE=ABcos∠BAC= cos2
得EC=AC—AE=1—cos2α
在Rt△BEC中，
EC=BCsin∠EBC=2 sinα·
=2 sin2α，
∴sin2α=2
2
cos
1α
-。

由于0＜cos2α＜1 ，sinα＞
∴sinα=2
2
cos
1α
-。

令α=2
β
，则sin2
β
=2
cos
1β
-
（半
角公式）。

（2）当90 0≤2α＜1800时，同理可证
明原命题成立。

类似上面的证明过程，还可以推导出其
它的的三角公式，例如：sin2α+cos2α=1。

已知sinα（或sin2α）的值，利用上面
公式可以求出sin2α（或sinα）的值。

当α=150时，sin150 =2
30
cos
10
-
=4
2
6-
，
已知sin180 =
1
5-
，求sin360的值。