2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2019•东莞市模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，2）D．（2，3）2．（5分）（2020•永州二模）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2019•深圳二模）已知双曲线C：的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．44．（5分）（2019•深圳二模）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）（2019•深圳二模）已知角α为第三象限角，若＝3，则sinα＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）（2019•深圳二模）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10π7．（5分）（2019•深圳二模）若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A．[]B．[]C．[﹣]D．[] 8．（5分）（2019•深圳二模）函数的图象大致为（）A．B．C．D．9．（5分）（2019•深圳二模）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）（2019•深圳二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1QC．m⊥B1Q D．m⊥平面A BB1A111．（5分）（2019•深圳二模）已知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay＝ab的对称点，且AF2⊥x轴，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）（2019•深圳二模）若函数f（x）＝x﹣在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（，e）C．（0，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）（2019•深圳二模）设函数，则f（﹣3）＝．14．（5分）（2019•深圳二模）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，cos c＝﹣，sin A＝2sin B，则b＝15．（5分）（2019•深圳二模）已知等边△ABC的边长为2，若点D满足，则＝16．（5分）（2019•深圳二模）如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD 的外接球的半径为，则∠A'DB＝．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2019•深圳二模）已知数列{a n}满足a1＝2，（1）判断数列{}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．18．（12分）（2019•深圳二模）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：x56789y86 4.5 3.53（1）统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r|∈[0.75，1]，则认为相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则认为相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额＝月销售量×当月售价）附注：参考数据：≈12.85，参考公式：相关系数r＝，线性回归过程＝x，＝，＝．19．（12分）（2019•深圳二模）在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD 的中点，以CE和CF为折痕把△DFC和△BEC折起，使点B、D重合于点P位置，连结P A，得到如图所示的四棱锥P﹣AECF．（1）在线段PC上是否存在一点G，使P A与平面EFG平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点A到平面PEC的距离20．（12分）（2019•深圳二模）设点P是直线y＝﹣2上一点，过点P分别作抛物线C：x2＝4y的两条切线P A、PB，其中A、B为切点．（1）若点A的坐标为（1，），求点P的横坐标；（2）当△ABP的面积为时，求|AB|．21．（12分）（2019•深圳二模）已知函数f（x）＝ae x+2x﹣1．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意的a≥1，当x＞0时，f（x）≥（x+ae）x．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2019•深圳二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）．圆C2的方程为（x﹣2）2+y2＝4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ≥0）．（l）求曲线C1和圆C2的极坐标方程：（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|＝2|OM|，求△MC2N的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（2019•深圳二模）已知函数．（Ⅰ）当m＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：．2019年广东省深圳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2019•东莞市模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，3）C．（1，2）D．（2，3）【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5分）（2020•永州二模）复数的共轭复数是（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】35：转化思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数；65：数学运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝1﹣i的共轭复数＝1+i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．（5分）（2019•深圳二模）已知双曲线C：的渐近线方程为，则该双曲线的焦距为（）A．B．2C．2D．4【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的焦距．【解答】解：双曲线C：的渐近线方程为，可得a＝，b＝1，则c＝＝2．所以C的焦距为：4．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4．（5分）（2019•深圳二模）某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．若从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为（）A．1B．2C．3D．4【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题；5I：概率与统计；66：数据分析．【分析】由频率分布直方图得：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）＝1，解得：a＝0.03，由分层抽样方法得：在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为＝3，得解【解答】解：由频率分布直方图可知：5×（0.01+0.02+a+0.04+0.04+0.06）＝1，解得：a＝0.03，即在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生数之比为：4：3：1，则从每周使用时间在[15，20），[20，25），[25，30）三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[20，25）内的学生中选取的人数为＝3，故选：C．【点评】本题考查了频率分布直方图及分层抽样，属简单题5．（5分）（2019•深圳二模）已知角α为第三象限角，若＝3，则sinα＝（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】35：转化思想；49：综合法；56：三角函数的求值．【分析】由题意利用两角和的正切公式，求得tanα的值，再利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα的值．【解答】解：∵角α为第三象限角，若＝3＝，∴tanα＝＝，且sin2α+cos2α＝1，sinα＜0，cosα＜0，则sinα＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查两角和的正切公式，同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．（5分）（2019•深圳二模）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．10π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】首先根据三视图，把几何体复原，进一步利用体积公式求出结果．【解答】解：根据三视图，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成，圆锥的求半径为2，高为2，圆柱的底面半径为1，高为2．所以：V＝V1+V2＝，＝．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，锥体和球体的体积公式的应用．7．（5分）（2019•深圳二模）若函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则函数f（x）的一个单调递增区间为（）A．[]B．[]C．[﹣]D．[]【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；57：三角函数的图象与性质．【分析】首先利用函数的周期求出函数的关系式，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数图象的两个相邻最高点的距离为π，则：T＝π，解得：ω＝2，故：．令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，，即：x．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：正弦型性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．8．（5分）（2019•深圳二模）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】求出函数的定义，判断函数的奇偶性，利用函数值符号以及极限思想进行排除即可．【解答】解：由得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，当0＜x＜1时，lg|x|＜0，排除C，当x＞0且x→0，f（x）→0，排除D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，可以函数奇偶性，函数值的对应性以及极限思想，利用排除法是解决本题的关键．9．（5分）（2019•深圳二模）十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A为圆O上一个定点，在圆周上随机取一点B，连接AB，所得弦长AB大于圆O的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】35：转化思想；44：数形结合法；5I：概率与统计．【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B的位置，再由测度比是弧长比得答案．【解答】解：设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如所示，则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故P（M）＝，故选：C．【点评】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．10．（5分）（2019•深圳二模）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，设直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，以下关系中正确的是（）A．m∥D1Q B．m∥平面B1D1QC．m⊥B1Q D．m⊥平面A BB1A1【考点】LS：直线与平面平行．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，得到m∥BD∥B1D1，由此能得到m∥平面B1D1Q．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P为棱CC1的动点，Q为棱AA1的中点，直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，且BD∥B1D1，∴m∥BD∥B1D1，∵m⊄平面B1D1Q，B1D1⊂平面B1D1Q，∴m∥平面B1D1Q．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11．（5分）（2019•深圳二模）已知F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay＝ab的对称点，且AF2⊥x轴，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，利用已知条件求出A的坐标，然后求解AF1的中点，代入直线方程，即可求解椭圆的离心率．【解答】解：F1、F2分别是椭圆C：的左、右焦点，点A是F1关于直线bx+ay＝ab的对称点，且AF2⊥x轴，可得AF2的方程为x＝c，AF1的方程y＝，可得A（c，），AF1的中点为（0，），代入直线bx+ay＝ab，可得：ac＝b2＝a2﹣c2，e＝＞1，可得e2+e﹣1＝0，解得e＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．12．（5分）（2019•深圳二模）若函数f（x）＝x﹣在区间（1，+∞）上存在零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，）B．（，e）C．（0，+∞）D．（，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】11：计算题；49：综合法；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】利用特殊值回代验证，利用函数的导数判断函数的单调性，求解判断即可．【解答】解：当a＝10时，函数f（x）＝x﹣，x＝e时，f（e）＜0，x＝100时，f（100）＞0，所以函数存在零点，所以A、B不正确；当a＝时，f（x）＝x﹣，f′（x）＝1﹣，x＞1时，f′（x）＞0恒成立，函数是增函数，f（1）＝0，所以a＝时，函数没有零点，所以C不正确，故选：D．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的零点的判断，考查转化思想以及计算能力．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）（2019•深圳二模）设函数，则f（﹣3）＝4．【考点】5B：分段函数的应用．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣3）＝f（﹣1）＝f（1），又由解析式求出f（1）的值，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，函数，当x＜0时，有f（﹣3）＝f（﹣1）＝f（1），当x＞0时，f（1）＝1+3＝4，则f（﹣3）＝4；故答案为：4．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数解析式，属于基础题．14．（5分）（2019•深圳二模）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，cos c＝﹣，sin A＝2sin B，则b＝1【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】由已知利用正弦定理可求a＝2b，进而根据余弦定理即可计算得解．【解答】解：∵sin A＝2sin B，∴由正弦定理可得：a＝2b，又∵c＝，cos c＝﹣，∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：6＝a2+b2﹣2×＝4b2+b2+×2b2，解得：b＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．15．（5分）（2019•深圳二模）已知等边△ABC的边长为2，若点D满足，则＝【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．【分析】利用已知条件，转化斜率的数量积求解即可．【解答】解：等边△ABC的边长为2，若点D满足，则＝（+）＝+＝+＝．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，平面向量的加减运算，是基本知识的考查．16．（5分）（2019•深圳二模）如图（1），在等腰直角△ABC中，斜边AB＝4，D为AB的中点，将△ACD沿CD折叠得到如图（2）所示的三棱锥C﹣A'BD，若三棱锥C﹣A'BD 的外接球的半径为，则∠A'DB＝．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离；5Q：立体几何．【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．【解答】解：球是三棱锥C﹣A'BD的外接球，所以球心O到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD⊥平面A'BD，取CD的中点E，A'B的中点G，连接CG，DG，因为A'D＝BD，CD⊥平面A'BD，所以A'和B关于平面CDG对称，在平面CDG内，作线段CD的垂直平分线，则球心O在线段CD的垂直平分线上，设为图中的O点位置，过O作直线CD的平行线，交平面A'BD于点F，则OF⊥平面A'BD，且OF＝DE＝1，因为A'F在平面A'BD内，所以OF⊥A'F，即三角形A'OF为直角三角形，且斜边OA'＝R＝，∴A'F＝＝＝2，所以，BF＝2，所以四边形A'DBF为菱形，又知OD＝R，三角形ODE为直角三角形，∴OE＝＝＝2，∴三角形A'DF为等边三角形，∴∠A'DF＝，故∠A'DB＝，故填：．【点评】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于难题．三、解答题：本大题共7个小题，共70分，解答必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2019•深圳二模）已知数列{a n}满足a1＝2，（1）判断数列{}是否为等差数列，并说明理由；（2）记S n为数列{a n}的前n项和，求S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）数列{a n}满足a1＝2，，证明（a n+1﹣2n+1）﹣（a n ﹣2n）为常数即可得出．（2）由（1）可得：＝0+2（n﹣1），可得：a n＝2n+2（n﹣1），利用求和公式即可得出．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝2，，∴（a n+1﹣2n+1）﹣（a n﹣2n）＝2．a1﹣2＝0，∴数列{}为等差数列，首项为0，公差为2．（2）由（1）可得：＝0+2（n﹣1），可得：a n＝2n+2（n﹣1），∴S n＝+2×＝2n+1﹣2+n2﹣n．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2019•深圳二模）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）之间的关系，收集5组数据进行了初步处理，得到如下数表：x56789y86 4.5 3.53（1）统计学中用相关系数r来衡量两个变量之间线性相关关系的强弱，若|r|∈[0.75，1]，则认为相关性很强；若|r|∈[0.3，0.75），则认为相关性一般；若|r|∈[0，0.25]，则认为相关性较弱．请根据上表数据计算y与x之间相关系数r，并说明y与x之间的线性相关关系的强弱（精确到0.01）；（2）求y关于x的线性回归方程；（3）根据（2）中的线性回归方程，应将售价x定为多少，可获取最大的月销售金额？（月销售金额＝月销售量×当月售价）附注：参考数据：≈12.85，参考公式：相关系数r＝，线性回归过程＝x，＝，＝．【考点】BK：线性回归方程．【专题】38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】（1）根据表格数据以及参考公式计算，的值，结合相关系数r的大小进行判断即可（2）根据线性回归方程计算出相应的系数即可．（3）结合回归方程，进行预报计算即可．【解答】解：（1）由表中数据和附注中的参考数据得：＝7，＝5．（x i﹣）2＝10，（y i﹣）2＝16.5，（x i﹣）（y i﹣）＝﹣l2.5，r≈≈﹣0.97，∵|r|≈|﹣0.97|∈[0.75，1]，说明y与x的线性相关性很强．（2）由（1）可知＝＝＝﹣1.25，＝﹣＝5﹣（﹣1.25）×7＝13.75，∴＝﹣1.25x+13.75．（3）由题意可知，月销售额的预报值＝1000x＝﹣1250x2+13750x，（元），或者＝x ＝﹣1.25x2+13.75x（千元），则当x＝5.5时，取到最大值，即该店主将售价定为5.5元/件时，可使网店的月销售额最大．【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，结合参考数据进行计算求出相应系数是解决本题的关键．考查学生的计算能力．19．（12分）（2019•深圳二模）在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别为边AB、AD 的中点，以CE和CF为折痕把△DFC和△BEC折起，使点B、D重合于点P位置，连结P A，得到如图所示的四棱锥P﹣AECF．（1）在线段PC上是否存在一点G，使P A与平面EFG平行，若存在，求的值；若不存在，请说明理由（2）求点A到平面PEC的距离【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】31：数形结合；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）假设存在点G符合条件，利用线面平行的性质可得P A∥OG，故而可得的值；（2）根据V E﹣P AC＝V A﹣PCE列方程求出点A到平面PEC的距离．【解答】解：（1）假设PC上存在点G使得P A∥平面EFG，连接EF交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD的中点，∴OA＝AC，∵P A∥平面EFG，P A⊂平面P AC，平面P AC∩平面EFG＝OG，∴P A∥OG，∴＝＝．∴线段PC上是否存在一点G，使P A与平面EFG平行，且＝．（2）∵PC⊥PE，PC⊥PF，PE∩PF＝P，∴PC⊥平面PEF，∴PC⊥PO，PC⊥EF，∵E，F是正方形AB，AD的中点，∴EF⊥AC，又PC∩AC＝C，∴EF⊥平面P AC，∵OC＝AC＝3，PC＝4，∴PO＝＝，∴sin∠PCA＝＝，∴S△P AC＝＝．又OE＝EF＝，∴V E﹣P AC＝＝，又S△PCE＝＝＝4，设A到平面PCE的距离为h，则V A﹣PCE＝＝，解得h＝．∴点A到平面PEC的距离为．【点评】本题考查了线面平行的性质，棱锥的体积计算，考查空间距离的计算，属于中档题．20．（12分）（2019•深圳二模）设点P是直线y＝﹣2上一点，过点P分别作抛物线C：x2＝4y的两条切线P A、PB，其中A、B为切点．（1）若点A的坐标为（1，），求点P的横坐标；（2）当△ABP的面积为时，求|AB|．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【专题】11：计算题；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）求出切线P A的方程后，将P的纵坐标代入可求得横坐标；（2）利用抛物线x2＝2py的切线方程xx0＝2p×可得P A，PB的切线方程，可得切点弦AB方程：x0x﹣2y+4＝0，再利用弦长公式和点到直线距离可得面积，从而可得P的横坐标和|AB|．【解答】解：（1）∵y＝x2，∴y′＝x，∴k P A＝，∴直线P A的方程为y﹣＝（x ﹣1），即2x﹣y﹣1＝0，∴P（﹣，﹣2），点P的横坐标为﹣．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，﹣2），则直线P A的方程为x1x＝4×，即x1x﹣2y﹣2y1＝0，因为（x0，﹣2）在P A上，所以x1x0+4﹣2y1＝0，即x0x1﹣2y1+4＝0，同理可得x0x2﹣2y2+4＝0，∴直线AB的方程为x0x﹣2y+4＝0，联立消去y得x2﹣2x0x﹣8＝0，∴x1+x2＝2x0，x1x2＝﹣8，∴|AB|＝＝，又点P到直线AB的距离d＝＝，∴S△ABP＝d|AB＝××|＝（x02+4）＝，解得，x02＝5，|AB|＝＝3．【点评】本题考查了直线与抛物线的综合，属难题．21．（12分）（2019•深圳二模）已知函数f（x）＝ae x+2x﹣1．（其中常数e＝2.71828…，是自然对数的底数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）证明：对任意的a≥1，当x＞0时，f（x）≥（x+ae）x．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．【分析】（1）由f（x）＝ae x+2x﹣1，得f′（x）＝ae x+2．可得当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，分别由导函数大于0和小于0求解原函数的单调区间；（2）f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）＝，利用导数求其最小值得证．【解答】（1）解：由f（x）＝ae x+2x﹣1，得f′（x）＝ae x+2．①当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在R上单调递增；②当a＜0时，由f′（x）＞0，解得x＜ln（﹣），由f′（x）＜0，解得x＞ln（﹣），故f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递增，在（ln（﹣），+∞）上单调递减．综上所述，当a≥0时，函数f（x）在R上单调递增；当a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣））上单调递增，在（ln（﹣），+∞）上单调递减．（2）证明：f（x）≥（x+ae）x⇔．令g（x）＝，则g′（x）＝．当a≥1时，ae x﹣x﹣1≥e x﹣x﹣1．令h（x）＝e x﹣x﹣1，则当x＞0时，h′（x）＝e x﹣1＞0．∴当x＞0时，h（x）单调递增，h（x）＞h（0）＝0．∴当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＝1时，g′（x）＝0；当x＞1时，g′（x）＞0．∴g（x）≥g（1）＝0．即，故f（x）≥（x+ae）x．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清楚题号.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2019•深圳二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数）．圆C2的方程为（x﹣2）2+y2＝4，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝θ0（ρ≥0）．（l）求曲线C1和圆C2的极坐标方程：（2）当时，射线l与曲线C1和圆C2分别交于异于点O的M、N两点，若|ON|＝2|OM|，求△MC2N的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】11：计算题；5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）由，得C1的普通方程为+y2＝1；把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2＝1，再化简可得；（2）利用极径的几何意义和三角形的面积公式可得．【解答】解：（1）由，得C1的普通方程为+y2＝1，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得+（ρsinθ）2＝1，即ρ2＝＝，所以C1的极坐标方程为ρ2＝，由（x﹣2）2+y2＝4，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得ρ＝4cosθ，所以C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）把θ＝θ0代入ρ2＝，得ρM2＝，把θ＝θ0代入ρ＝4cosθ，得ρN＝4cosθ0，则|ON|＝2|OM|，得ρN＝2ρM，则＝4，即（4cosθ0）2＝，解得sin2θ0＝，cos2θ0＝，又0＜θ0＜，所以ρM＝＝，ρN＝4cosθ0＝，所以△MC2N的面积S＝S﹣S＝|OC2|（ρN﹣ρM）sinθ0＝××＝．【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2019•深圳二模）已知函数．（Ⅰ）当m＝2时，求不等式f（x）＞3的解集；（Ⅱ）证明：．【考点】7F：基本不等式及其应用；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；5T：不等式．【分析】（Ⅰ）分3段去绝对值解不等数组，在相并；（Ⅱ）由题f（x）＝|x﹣m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|＝m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[﹣，m]时等号成立，再利用基本不等式可证．【解答】解：（Ⅰ）当m＝2时，f（x）＝|x﹣2|+|x+|；①当x≤﹣时，原不等式等价于（2﹣x）﹣（x+）＞3，解得x；②当﹣时，原不等式等价于＞3，不等式无解；③当x≥2时，原不等式等价于（x﹣2）+（x+）＞3，解得x＞，综上，不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．（Ⅱ）证明：由题f（x）＝|x﹣m|+|x+|，∵m＞0，∴|m+|＝m+，所以f（x）≥m+，当且仅当x∈[﹣，m]时等号成立，∴f（x）+≥m++＝m+＝（m﹣1）++1，∵m＞1，m﹣1＞0，∴（m﹣1）++1≥2+1＝3，∴f（x）+≥3．当m＝2，且x∈[﹣，2]时等号成立．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。