第二章 解析几何初步
§2 圆与圆的方程
2.2 圆的一般方程
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一、选择题
1.圆x 2+y 2-4x +6y =0的圆心坐标是( )
A .(2,3)
B .(-2,3)
C .(-2,-3)
D .(2,-3)
答案:D
2.方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0表示的曲线是以(-2,3)为圆心,4为半径的圆,则D 、E 、F 的值分别为( )
A .4,-6,3
B .-4,6,3
C .-4,6,-3
D .4,-6,-3 解析:-D 2=-2,则D =4;-
E 2=3,则E =-6;此时方程为x 2+y 2+4x -6y +
F =0.
12 42+(-6)2-4F =4,则F =-3.
答案:D
3.圆x 2+y 2-ax +2y +1=0关于直线x -y -1=0对称的圆的方程为x 2+y 2=1,则实数a 的值为( )
A .0
B .6
C .±2
D .2
解析:两圆的圆心分别为C 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2,-1,C 2(0,0). ∵两圆关于直线x -y -1=0对称.
∴C 1C 2的中点⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 4,-12在直线x -y -1=0上.
∴a 4+12-1=0,a =2.
答案:D
4.如果圆的方程为x 2+ y 2+kx +2y +k 2=0,那么当圆面积最大时,圆心坐标是( )
A .(-1,1)
B .(1,-1)
C .(-1,0)
D .(0,-1)
解析:R 2=k 2+4-4k 24
=4-3k 24. 当k 2=0时,R 2最大,面积也最大.
此时圆的方程为x 2+y 2+2y =0,圆心为(0,-1).
答案:D
5.若曲线C :x 2+y 2+2ax -4ay +5a 2-4=0上所有的点均在第二象限内,则a 的取值范围为( )
A .(-∞,-2)
B .(-∞,-1)
C .(1,+∞)
D .(2,+∞) 解析:方程可化为(x +a )2+(y -2a )2=4,则圆心坐标为(-a,2a ),半径为2,由题意知,
⎩⎪⎨⎪⎧ -a <0,2a >0,|-a |>2,|2a |>2,
解得a >2.
答案:D 6.圆x 2+y 2+8x -4y =0与圆x 2+y 2=20关于直线y =kx +b 对称,则k 与b 的值分别为( )
A .k =-2,b =5
B .k =2,b =5
C .k =2,b =-5
D .k =-2,b =-5
解析:两圆的圆心分别为(-4,2)和(0,0),
∵两圆关于直线y =kx +b 对称,
∴2-0
-4-0
×k =-1,∴k =2. 又∵两圆心连线的中点在直线上,
∴-2k +b =1,∴b =5.
答案:B
二、填空题
7.已知圆C :x 2+y 2+2x +ay -3=0(a 为实数)上任意一点关于直线l :x -y +2=0的对称点都在圆C 上,则a =________.
解析:由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-a 2在直线x -y +2=0上,将⎝ ⎛⎭
⎪⎫-1,-a 2代入直线方程得-1-⎝ ⎛⎭
⎪⎫-a 2+2=0,解得a =-2. 答案:-2
8.圆C 的方程为x 2+y 2-4x -5=0,若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1),则直线AB 的方程为______________________________________________.
解析:由题可设直线AB 的斜率为k .
由圆的知识可知:CP ⊥AB .
所以k CP ·k =-1.又k CP =1-0
3-2=1⇒k =-1. 所以直线AB 的方程为y -1=-(x -3),
即x +y -4=0.
答案:x +y -4=0
9.已知圆C 经过A (5,1),B (1,3)两点,圆心在x 轴上,则圆C 的方程为__________________.
解析:设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.
∵圆心在x 轴上,
∴-E 2=0,则E =0.
此时圆的方程为x 2+y 2+Dx +F =0,
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
52+12+5D +F =0,12+32+D +F =0, 解得⎩⎪⎨⎪⎧ D =-4,F =-6.
∴圆的方程为x 2+y 2-4x -6=0.
答案:x 2+y 2-4x -6=0
三、解答题
10.求过点A (1,-1),B (-1,1),且圆心在直线x +y -2=0上的圆的方程. 解:设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,则由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧
1+1+D -E +F =0,1+1-D +E +F =0,-D 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫-E 2-2=0.
即⎩⎨⎧ D -E +F =-2,
-D +E +F =-2,
D +
E =-4.∴⎩⎨⎧ D =-2,E =-2,
F =-2.
∴所求圆的方程为x 2+y 2-2x -2y -2=0.
11.已知x 2+y 2+(3t +1)x +ty +t 2-2=0表示一个圆.
(1)求t 的取值范围;
(2)若圆的直径为6,求t 的值.
解:(1)因为方程表示一个圆,则有D 2+E 2-4F >0,
所以(3t +1)2+t 2-4(t 2-2)>0.
所以23t >-9,即t >-332.
(2)圆x 2+y 2+(3t +1)x +ty +t 2-2=0的标准式方程为⎝
⎛⎭⎪⎫x +3t +122+
⎝ ⎛⎭⎪⎫y +t 22=(3t +1)2+t 2-4(t 2-2)4, 由条件知,圆的半径是3,
所以3=12 (3t +1)2+t 2-4(t 2-2).
所以23t +9=36.
所以t =932>-323,所以t =932.
12.已知一圆过点P (4,-2),Q (-1,3)两点,且在y 轴上截得的线段长为43,求圆的方程.
解:设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,圆与y 轴的交点为A (0,m ),B (0,n ),
令x =0,则y 2+Ey +F =0,所以m 、n 是这个方程的根,且m +n =-E ,mn =F .
所以|AB |2=(m -n )2=(m +n )2-4mn =E 2-4F =(43)2,
故E 2-4F =48. ①
又因为点P (4,-2)、Q (-1,3)在这个圆上,所以16+4+4D -2E +F =0,且1+9-D +3E +F =0.
即4D -2E +F +20=0, ②
-D +3E +F +10=0. ③
解①②③得D =-2,E =0,F =-12或D =-10,E =-8,F =4. 因此圆的方程是x 2+y 2-2x -12=0或x 2+y 2-10x -8y +4=0.
13.已知Rt △AOB 中|OB |=3|AB |=5,点P 是△AOB 内切圆上一点,求以|P A ||PB ||PO |为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
解:如图,建立平面直角坐标系,使A ,B ,O 三点的坐标分别为A (4,0),B (0,3),O (0,0),
设P (x ,y ),内切圆半径为r ,则有|OA |·r +|OB |·r +|AB |·r =|OA |·|OB |
所以r =1.
故内切圆的方程是(x -1)2+(y -1)2=1,
化简为x 2+y 2-2x -2y +1=0.①
又|P A |2+|PB |2+|PO |2=(x -4)2+y 2+x 2+(y -3)2+x 2+y 2=3x 2+3y 2-8x -6y +25.②
由①可知x 2+y 2-2y =2x -1.
将其代入②,则有|P A |2+|PB |2+|PO |2=3(2x -1)-8x +25=-2x +22,因为x ∈[0,2],
故|P A |2+|PB |2+|PO |2的最大值为22,最小值为18,
三个圆面积之和,S =π⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A |22+π⎝ ⎛⎭⎪⎫|PB |22+π⎝ ⎛⎭
⎪⎫|PO |22=π4(|P A |2+|PB |2+|PO |2), π4×22=11π2,π4×18=92π,
所以所求面积之和的最大值为11π2,最小值为9π2.。