1.6为了使电视图象获得良好的清晰度和规定的对比度，需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平，并设每秒要传送30帧图象，所有的像素是独立的，且所有亮度电平等概出现。

求传输此图象所需要的信息率（bit/s ）。

解：bit/s 104.98310661.130)/)(()/(R bit/frame10661.1322.3105)(H 105)(H bit/pels322.310log )(log )()(H 7665051010⨯=⨯⨯=⨯=∴⨯=⨯⨯=⨯⨯====∑=frame bit X H s frame r x X a p a p x i i i 所需信息速率为：每帧图像的熵是：每个像素的熵是：，由熵的极值性：由于亮度电平等概出现1.7设某彩电系统，除了满足对于黑白电视系统的上述要求外，还必须有30个不同的色彩度。

试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。

证:.5.2,,5.25.2477.210log 300log )(H )(H pels/bit 300log )(log )()(H bit 3001030,10,,300130011倍左右比黑白电视系统高彩色电视系统信息率要图形所以传输相同的倍作用大信息量比黑白电视系统彩色电视系统每个像素每个像素的熵是：量化所以每个像素需要用个亮度每个色彩度需要求下在满足黑白电视系统要个不同色彩度增加∴≈====∴=⨯∑=x x b p b p x i i i1.8每帧电视图像可以认为是由3×105个像素组成，所以像素均是独立变化，且每像素又取128个不同的亮度电平，并设亮度电平是等概出现。

问每帧图像含有多少信息量？若现在有一个广播员，在约10000个汉字中选1000个字来口述这一电视图像，试问若要恰当地描述此图像，广播员在口述中至少需要多少汉字？ 解:个汉字最少需要数描述一帧图像需要汉字每个汉字所包含信息量每个汉字所出现概率每帧图象所含信息量55665510322.6/10322.61.0log 101.2)()()()(,log H(c):1.0100001000symble /bit 101.2128log 103)(103)(:⨯∴⨯=-⨯=≥≤-=∴==⨯=⨯⨯=⨯⨯=frame c H X H n c nH X H n p p x H X H1.9给定一个概率分布),...,,(21n p p p 和一个整数m ，nm ≤≤0。

定义∑=-=mi im p q 11，证明：)log(),,...,,(),...,,(2121m n q q p p p H p p p H m m m n -+≤。

并说明等式何时成立？证：∑∑+==--=>-=<-=''-=''∴>-=''-=''>-=nm i iimi i i n pp p p p p p H x x x x f x ex x x f x x ex x x f x x x x f 1121log log ),...,,()0(log )( 0log )log ()(0 log )log ()()0(log )( 又为凸函数。

即又为凸函数，如下：先证明时等式成立。

当且仅当时等式成立。

当且仅当即可得：的算术平均值的函数，函数的平均值小于变量由凸函数的性质，变量n m m m m m n mm m i i i m m m m m mi i i nm i iimi i i n n m m m m m nm i iimm nm i inm i inm i inm i i nm i ii p p p m n q q p p p H p p p H q q p p q p p p H m n q q q p p pp p p p p p H p p p m n q q q pp mn qq m n p m n p m n m n p f m n mn p f m n pp ===-+≤--=-+--≤--=∴===-+-≤---=----=---≤---=-++==+==+++=+=+=+=+=+=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑...)log(),,...,,(),...,,(log log ),,...,,()log(log log log log ),...,,(...)log(log log log log )()()()()(log 21212112111121211111112.13把n 个二进制对称信道串接起来，每个二进制对称信道的错误传输概率为p(0<p<1)，试证明：整个串接信道的错误传输概率p n =0.5[1-(1-2p)n ]。

再证明：n →∞时，limI(X 0;X n )=0。

信道串接如下图所示：解：1log )( )()(log)()()(log)();(lim )10)(()(21)1( 21)10()0()00()0()0(:)10(1)1(,)0(:21])21(1[21lim lim 121])21(1[21])21(1[21])21(1[21])21(1[21])21(1[21])21(1[21 11])21(1[21])21(1[21])21(1[21])21(1[21][,])21(1[212222221221221111][:2:212102121002121000000000000111111122222222====∴=∴=====•=+==•===<<-=====--=∴<---=--=∴⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-----+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-----+==--=-=∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--•⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==∑∑∑∑∑∑==∞==∞∞∞==∞∞∞∞→∞∞∞∞∞∞∞∞∞→∞→+++++++i j j i i j j i j j i i j j i j j i n n n n n n n n k k k k k k k k k k k X X p X p X X p X X p X p X X p X X p X X I x x x p x x p X p X X p X p X X p X p X p X a a X p a X p X p P p p P p P p p p p p p p p p p p p P k n p p p p p p pp p p p p p p p p p p p pP n 或取、则输出信源其中设输入信源空间故则时公式成立假设时由当用数学归纳法证明2.18试求下列各信道矩阵代表的信道的信道容量： (1)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0010100000010100][ 432114321a a a a P b b b b(2)⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100100010010001001][b b b 6543212321a a a a a a P(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3.01.02.04.000000000007.03.000000000004.03.02.01.0][b b b b b b b b b b 3213109876 54321a a a P解：bit/symble585.13log log :(3)bit/symble 585.13log log (2)symble /bit 24log log )1(======∴===∴r C s C r C 信道为扩张性无噪信道信道为归并性无噪信道系的无噪信道信道为一一对应确定关 2.19设二进制对称信道的信道矩阵为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4/34/14/14/310][1 0 PX n(1) 若p(0)=2/3，p(1)=1/3，求H(X)，H(X/Y)，H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到的输入概率分布。

解：bit/symble8113.0)43log 433141log 413241log 413143log 4332( )(log )()()(log )()(bit/symble 9799.0)125log 125127log 127()(log )()(12543314132)1()()1(12741314332)0()()0(bit/symble9183.0)31log 3132log 32()(log )()()1(2121212121212121=⨯+⨯+⨯+⨯-=-=-==⨯+⨯-=-==⨯+⨯====⨯+⨯====⨯+⨯-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑========i j i j i j i i j i j j i j j j i i i y i i i y i i i x y p x y p x p x y p y x p X Y H y p y p Y H x y p x p p x y p x p p x p x p X H.时达到信道容量21)1()0(即,信源输入为等概分布/1887.01log 25.0)25.0(2log )1log()(log 本信道为强对称信道7497.01686.09183.0);()()(1686.08113.09799.0)()();(C X p X p H r H r C Y X I X H Y X H X Y H Y H Y X I =====--=---=∴=-=-==-==∴symble bit (2)bit/symblebit/symble-εε2.21设某信道的信道矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3/13/16/16/16/16/13/13/1][ b b b b 214321a a P试求：(1)该信道的信道容量C ； (2)I(a 1;Y)； (3)I(a 2;Y)。

解:bymble/bit 0817.0);();()3()2(symble /bit 0817.0)61,61,31,31(4log ),,,(log 1214321====-=''''-=∴C Y a I Y a I H p p p p H s C 、道）本信道为对称离散信（2.27设某信道的信道矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=N p p p P0000][21其中P 1,P 2，…，PN是N 个离散信道的信道矩阵。

令C 1，C 2，…，C N 表示N 个离散信道的容量。

试证明，该信道的容量∑==Ni c iC 12log 比特/符号，且当每个信道i 的利用率p i ＝2Ci-C(i ＝1,2,…,N)时达其容量C 。

证明::)1(,]P [),](2log[)1(),2,1()/(log )/()/(),2,1(:11111可以改写为方程组特点由其中可得解出由方程组列行为设∑∑∑∑∑===========⨯Nm m N m m sj j sj i j i j sj j i j m m m l r k s C r i a b p a b p a b p N m k l P j βββ]2log[),,2,1(222:]2log[])2(log[]2log[22),,,2,1](2log[)2(),2,1( )/(log )/()/()/(log )/()/()/(log )/()/(1)()2log (1)(11111111111221221111111121∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=--∑=-====================∴====⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧====Nm C C C C k j C m Nm C Nm k j sj C k j k j m s j i j pn i j pn k j j pn ij pn s j i j p i j p k j j p i j p sj i j p i j p k j j p i j p m m mk j jpm mj pm m mjpmj mmjpmmjpmNC N m p C N m C r i a b p a b p a b p a b p a b p a b p a b p a b p a b p 时取得信道容量且在各信道利用率为即其中 βββββββββ第三章 多符号离散信源与信道3.1设X ＝X 1X 2…X N 是平稳离散有记忆信源，试证明：H(X 1X 2…X N )=H(X 1)+ H(X 2/ X 1)+H(X 3/ X 1 X 2)+…+H(X N / X 1 X 2…X N -1)。