I
1 T
T 0
I
2 m
c
os2
(t
i )dt
1 T
I
2 m
T 1 cos2(t i ) dt
0
2
Im 2
0.707Im
同样可推得正弦电 压 u 的有效值为：
U
Um 2
0.707Um
有效值 的物理意义：
周期电流 i1通过电阻R，R在一周
i1
期时间T内吸收的电能为
R
w1
T 0
(1)
uC (0 ) uC (0 ) 0
(2)
(1) 式通解为：
iS
R
uC (t) uCh uCP
其中
t
uCh k e RC
(t=0)
设 uC p UCm cos(t u )
(3)
+
C uC
-
uC p U Cm sin(t u )
(4)
将(3)、(4)代入(1)式，化简可得：
UCm (1 R)2 (C)2 cos(t u arctg(CR))
求 u 与 i 的相位差 。
解： (120 o ) 120 o 240 o 即 120 o
u 超前 i (2 / 3) 弧度 。
8.2.4 正弦电压、电流的有效值
以电流为例讨论。
若周期电流 i 的周期为 T ，则其有效值 I定义
为：
I 1 T i2 (t)dt
T0
正弦电流 i Im cos( t i ) 的有效值为：
i12 Rdt
R
T 0
i12
dt
恒定电流 I2通过电阻R，R在T时间 内吸收的电能为
w2
I
2 2
RT
I2
R
若有 I22T
T 0
i12
dt
则有 w2 w1
即 I2
1
T
T 0
i12
dt
8.3复数的表示方法和复数运算
8.3.1 复数的表示方法 8.3.2 复数的运算
8.3.1 复数的表示方法
直角坐标形式：
A a1 ja 2 ( j 1)
其中 a1 、 a2 均为实数， a1 是A的实部， a2 是A的虚部。
向量表示：
+j
a ：复数A的模 ：复数A的辐角

a2
a
A
有：
a1
+1
i
i Im cos(t i )
+ u - u Um cos(t u )
8.2.2 正弦量的三要素
i Im cos(t i )
振幅 Im Im 是电流 i 的最大值。 角频率
是 i 的相角随时间变化的速度，称为角频率。
单位：弧度 / 秒，或写作 (1 / 秒)
电流 i 的频率为 f (赫兹、周 / 秒) ，周期为 T(秒) ， 有如下关系
u
t
i
ui 0 , u 与 i 同相
u
t
i
ui 0 , u 超前 i
u
i
ui 0 ,
t
u 滞后 i
u
t
i
ui , u 与 i 反相
ui 2 , u 与 i 正交
例1：已知 u1 10 sin(314 t 120 o ) (V ) u2 100 cos(314 t 30o ) (V )
uC 暂态分量
由于u与i 有关，而i 与计时起点（即开关动作的 时刻）有关 ，因此开关动作时刻的不同将会影响暂态
分量的大小。
8.2 正弦电压和电流
8.2.1 正弦电压和电流 8.2.2 正弦量的三要素 8.2.3 同频率正弦量的相位差 8.2.4 正弦电流、正弦电压的有
效值
8.2.1 正弦电压和电流
uC (t) UCm cos(u )e RC UCm cos(t u )
自由分量 (暂态分量)
强制分量 (稳态分量)
自由分量的绝对值随时间按指数规律衰减，因此 又称为暂态分量。
强制分量是与电源同频率的正弦量，当 t = ，响 应中只剩下该正弦分量，此时称电路进入了正弦稳态。
(工程上认为，时间为3 或4 时，电路已进入稳态。)
求 u1 与 u2 的相位差 。 解：u1 10sin(314t 120o ) 10cos(314t 210o )
10cos(314t 150o ) (V )
150 o 30 o 120 o
即 u1 超前 u2 (2 / 3) 弧度 。
例2：已知 u Um cos(t 120 o ) (V ) i Im cos(t 120 o ) ( A)
暂态分量的初值与 u i arctg(CR) 有关。
若 u 2 ，则暂态分量为零，电路直接进入稳态；
若 u 0 或 u ，则暂态分量初值为 U cm ，暂 态分量在最初一段时间绝对值较大，使 uc 在这段时间 某些瞬时可能产生过电压。下图 为u=0 时uc 波形图。
稳态分量
t
-UC m
I sm cos(t i )
(5)
比较(5)式两边可得：u i arctg(CR)
UCm
I sm
(C)2 (1 R)2
即(1) 式通解为：
t
uC (t) k e RC UCm cos(t u )
代入初始条件(2)式，得： k UCm cos(u )
方程(1) 满足初始条件的解为： t
随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电 压和电流（有时又称为交流电压和电流），它们
的瞬时值可用时间t 的 sin 函数或 cos 函数表示，
在以后的讨论中，均将它们表为 cos 函数。
给出正弦电压（电流）瞬时值表达式时，一定要 先给出其参考方向。表达式和参考方向一起可确 定正弦电压（电流）任一时刻的真实方向。
8.1 正弦稳态电路
正弦电源作用下的一阶 电路
以一RC电路为例讨论。 电路如图，已知：
uC (0 ) 0
iS
R
(t=0)
+
C uC
-
is (t) Ism cos(t i ) ( A) (t 0)
求 uC (t) t 0
解：由KCL得方程
C
d uC dt
1 R uC
Ism cos(t i )
例: u Um cos(t u ) ,
i Im cos(t i )
u 与 i 的相位差 u i （可简计为 ）为：
ui (t u ) (t i ) u i
同频率正弦量的相位差等于其初相位之差。 相位差 的单位：弧度、度。
相位差 是多值的，一般取 。
同频率正弦量相位差的几种情况
2f 2 (1 T )
初相位 i
i Im cos(t i )
i 是 t = 0 时刻 i 的相位，称为初相位（初相角） 单位：弧度、度。
由于 cos 函数是周期函数，故i 是多值的，一般
取
i
i 的值与计时起点的选择有关。
i
t
i
0
i 0
0
i
t
i 0
t
0
8.2.3 同频率正弦量的相位差