矩阵理论2007年考试参考答案
一、判断题（40分）（对者打∨，错者打⨯）
1、设,n n A B C ⨯∈的奇异值分别为120n σσσ≥≥
≥>，''
'
12
0n σσσ≥≥≥>，
如果'(1,2,,)i i i n σσ>=，则22||||||||A B ++>. ( ⨯ )
2、设n n
A C ⨯∈为正规矩阵，则矩阵的谱半径2()||||r A A =. ( ∨ ) 3、设n
n C
A ⨯∈可逆，n
n C
B ⨯∈，若对算子范数有1||||||||1A B -⋅<，则B A +可逆.
( ∨ )
4、设323
12
1
00a a A a a a a -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
为一非零实矩阵，则2221
1
23()a a a A --++为A 的一个广义逆矩阵 ( ∨ )
5、设A 为m n ⨯矩阵，P 为m 阶酉矩阵, 则P A 与A 有相同的奇异值. ( ∨ )
6、设n n
A C
⨯∈，且A 的所有列和都相等，则()r A A ∞=. ( ⨯ )
7、如果12(,,
,)T n n x x x x C =∈，则1||||min i i n
x x ≤≤=是向量范数. ( ⨯ )
8、00101
40110620
11
8A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
至少有2个实特征值. ( ∨ ) 9、设,n n A C ⨯∈则矩阵范数m A ∞
与向量的1-范数相容. ( ∨ )
10、设n n
A C
⨯∈是不可逆矩阵，则对任一自相容矩阵范数
有1I A -≥, 其中I 为单位矩
阵. ( ∨ )
二、计算与证明（60分）
1. (10分)设矩阵n n
A C ⨯∈可逆, 矩阵范数||||⋅是n
C 上的向量范数||||v ⋅诱导出的算子范数,
令()L x Ax =, 证明:
||||11||||1
max ||()||||||||||min ||()||v v v
x v
y L x A A L y =-==⋅.
证明: 根据算子范数的定义, 有||||1
max ||()||||||x L x A ==,
1
11
00||||1||||1
0||||||||111||||max max ||||||||||||min ||||min ||()||min ||||
y A x x y y y y A x y A Ay x Ay Ay L y y --=-≠≠==≠=====
,
结论成立.
2.(10分) 已知矩阵110130110,112114A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
(1) 求矩阵A 的最大秩分解; (2) 求A +;
(3) 用广义逆矩阵方法判断方程组Ax b =是否有解?
(4) 求方程组Ax b =的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解)
解: (1)10110101011011A BD ⎛⎫⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝
⎭ ⎪⎝⎭
,
(2)12111()1213T T
B B B B +--⎛⎫== ⎪-⎝⎭
, 121121()13521T T D D DD +--⎛⎫
⎪ ⎪== ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
, 5
4103315721554
1A D B +++-⎛⎫ ⎪ ⎪==
⎪- ⎪ ⎪-⎝
⎭
, (3) 314AA b b +
⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
, 方程组Ax b =有解;
(5) 最小范数解:()01101T
x A b +==. 3. (10分) 设矩阵n n
A C ⨯∈为单纯矩阵, 证明: A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在
正定矩阵n n
H C
⨯∈, 使得HA 为Hermite 矩阵.
证明: (充分性) (0)Ax x x λ=≠, ,(0,)H H H H x HAx x Hx R x Hx x HAx R λ=∈>∈,
R λ∈.
(必要性) A 为单纯矩阵, 所以1
1, (,
,),n i A P DP D diag R λλλ-==∈,
令H H P P =, 则1H H HA P PP DP P DP -==为Hermite 矩阵. 4. (10分) 设矩阵n n
A C
⨯∈为行严格对角占优矩阵, 用Gerschgorin 圆盘定理证明:
(1) 矩阵A 为可逆矩阵;
(2) 如果矩阵A 的所有主对角元均为负数, 证明A 的所有特征值都有负实部. 证明：(1)A 行严格对角占优||||i ij ii j i
R a a ≠⇒=
<∑
1
({:||||})n
i i i ii ii i S S z C z a a λ=⇒∈
=∈-<1
00n
i i
i S S =⇒∉⇒∉
(2)0,||||ii ii ii a a a λ<-<⇒A 的特征值都有负实部
5. (10分)
(1) 设矩阵()m n A C m n ⨯∈<, 且H m AA I =, 其中m I 为单位矩阵, 证明H A A 酉相似于对角矩阵, 并求此对角矩阵.
证明: 由于矩阵H A A 和H m AA I =的非零特征值相同, 所以矩阵H A A 的特征值为1(m 个)和 0(n m -个), 同时由于矩阵H A A 为Hermite 矩阵, 所以矩阵H A A 酉相似于对角矩阵
000m n n
I D ⨯⎛⎫=
⎪⎝⎭ (2) 设矩阵m n
n A C ⨯∈, 证明: 2||||1AA +=.
证明: 令2
B AA B B +=⇒=. 设B 的特征值为λ, 则
2λλ=, 即0,1λ=.设
,00n x C x Ax ∈≠⇒≠, 所以有()1()B Ax AA Ax Ax +==⋅, 即1是矩阵B 的特征值, 故
()1r B =, 1/22||||[()]()1H B r B B r B ⇒===.
6. (10分) (1) 设矩阵()ij n n A a ⨯=, 则
,||||max ||a ij i j
A n a =⋅
是矩阵范数.
(2) 设,,,n
x y p q C ∈为非零列向量, 矩阵H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥其中，求2||||m A .
解：(1) 0A ≠⇒ij a ⇒不全为零,||||max ||0;a ij i j
A n a =⋅>
,,||||max ||||max ||||||||a ij ij a i j
i j
kA n ka k n a k A =⋅=⋅=;
,,,||||max ||max ||max ||||||||||a ij ij ij ij a a i j
i j
i j
A B n a b n a n b A B +=⋅+≤⋅+⋅=+
(2)H H A xp yq ,x y,p q =+⊥⊥⇒其中
2222()()||||||||H H H H H H H H
A A xp yq xp yq x pp y qq =++=+⇒
22222222||||||||||||||||x p x q +p,q 为矩阵H A A 对应于22
22||||||||,x p 22
22
||||||||x q 的特征向量. 又因为()()2H rank A A rank A =≤⇒()()2H rank A A rank A ==⇒
22
22||||||||,x p 2222
||||||||x q 为H A A 全部非零特征值
所以2
2
2222
22221
||||()||||||||||||||||n
H
m i i A A
A x p x q λ===+⇒
∑2||||m A。