144t '4 24t '
rω2 r
o
(12t '2 ) 2 24t '
t ' 0.55(s)
2 4t '3 2.67(rad)
b 2 例 质点沿半径为R的圆周按 s v 0t t 运动，式中s为自然 2 坐标，v 、b为常量。
0
求 (1) 质点的加速度； (2) 质点的角速度、角加速度； (3) 法向加速度和切向加速度数值相等前，质点运动的时间。 解 (1) 本题是自然坐标的第一类问题。 先求出速率
ds v v 0 bt dt dv at b dt
v (v 0 bt ) an R R
2
2
1 a an a t R 2b 2 (v 0 bt ) 4 R
2 2
(v 0 bt ) 2 tan Rb (2) 根据线量和角量关系，写出用角量描述的运动方程θ (t )
线 位置 位移
量
角 量 加速度 与 线 量 切线加速度 的 比 法向加速度 较
匀速直线运动
速度
v dr/dt a dv/dt
a dv /dt
a n v 2 /r
Δr r r0
r
角 角位置 角位移 角速度 角加速度
量
线量和角量的关系
θ
Δθ θ θ0
§ 1.5 极坐标系中质点运动描述
主要内容：
1. 圆周运动的角量描述 2.角量和线量的关系
一、圆周运动的角量描述 角位置 角位移 方向:
B s
A

沿逆时针转动， 为正； 沿顺时针转动， 为负。
角量表示运动方程

R
o
x
(t )
角速度
角加速度
Δ d lim Δt 0 Δt dt Δ d （） lim t 0 Δt dt
解：由： 0 t 由： 2 02 2
0 8 0 2 得： t 4 2 rad / s
2 （rad） 得： 2 16
R =R = R 50 16 40 n 20 圈 R 20 2
用角量表示匀变速圆周运动的基本方程： 0 t 1 2 0 0 t t 2 2 0 2 2 0
Q
二、角量和线量的关系：
ds rd
o
v r
a r
an r
2
ds d P r
x( 极轴)
ds d r dt dt dv d r dt dt v2 an r 2 r
0 0 t t 2
2 0 2 2 ( 0 )
1 2
解题思路 极坐标中质点运动学问题也分为两类问题。
求导

积分

求导 积分

质点的圆周运动可用线量描述也可用角量描述。
例 一质点作半径为0.1m 的圆周运动,已知运动学方 3 2 4 t (rad) 程为 求 (1) 当t =2s时,质点运动的an 和 aτ 以及 a 的大小 o (2) 当 =? 时,质点的加速度与半径成45 角？ 解 (1) 由运动学方程可得
d 12t 2 dt an rω2 230.4(m/s 2 )
2
d 2 2 24t dt
aτ r 4.8(m/s 2 )
2
a an aτ 230.5(m/s 2 )
(2) 设 t´ 时刻, 质点的加速度与半径成45 角, 则
t' : aτ an
s v0 b 2 t t R R 2R

d v 0 b t dt R R

d b dt R
(3) 由 at an 可得
(v 0 bt ) 2 b R
解出
v0 R t b b
例 半径为20cm的主动轮与半径为50cm的从动轮，用无相对 滑动的皮带连接。主动轮从静止开始作匀角加速转动，在4s 内从动轮角速度达 8rad / s。求在这4s内主动轮转过多少圈。
ω dθ/dt
v r
a r
an r 2
β dω/dt
Δx vΔt
匀速圆周运动
t
匀变速直线运动
匀变速圆周运动
1 x x0 v 0t at 2 2 2 2 v v 0 2a( x x0 )
v v 0 at
0 t