“比较日”（comparison date）。
•比比较较日日通的过“选一择维：时间图”表示：
时–间期沿初一和维期正末方是向两度个量特，殊付的款比则较置日于。图其的它上中部间，时 而沿刻另也一可个以方作向为的比付较款日则。在图的下部。比较期用 一–个复箭利头计表算示，。最终计算结果与比较日的选取无关。
x
100 200v2 500v6 = xv9
每“个收度支量相期等计”息原一则次
解价值方程的有力工具------时间流程图
时间流程图：用一条直线表示时间（从左到右），上面 的刻度为事先给定的时间单位，发生的现金流量写在对应时 间的上方或下方（一般同一流向的现金流写在同一方）。
100
100
100
x
i(4)
4[(1600
)
1 24
1]
0.0791
1000
每季度计息的年名义利率为7.91%。
二、用代数法求解价值方程中的i(一般用于n值较小的情形) 。 例6：某人在第2年末支付2000元的现值与第4年末支 付3000元的现值之和为4000元，问实际利率是多少？ 解：价值方程为
2000v2 3000v4 4000 3v4 2v2 4 0 v2 2 22 4 3 4 0.868517
例7：某人现投资1000元，3年后再投资2000元，若 10年后积累到5000元，求1年计息2次的名义利率？
解：设j=i(2)/2,由题意知价值方程为： 1000(1 j)20 2000(1 j)14 5000
令 f ( j) 1000(1 j)20 2000(1 j)14 5000
则所求的实际利率即为f(j)=0的解,由试凑法得：
100v10 200 Xv10 600v6
X
600v16
100v 10 v10
200
600 0.53391100 200(0.67556) 186.76 0.45639
可以看出，不同比较日的计算结果相同，X=186.76。
100
200
X
01
23
4
5
6
7 8 9 10
600
1.2.3未知时间问题 (unknown time)
即当i在8%左右时，有近似公式：t 0.72 72
称此式为72算法。
i 100i
72“定律”是一个著名的规律，一方面因为它的简单易 用，另一方面则是因为它在一个很大的利率范围内会产生较 准确的结果。下表中列出了一些数据。
使存款翻倍的时间长度
年利率% 4 5 6 7 8 10 12 18
72定律（年） 18 14.4 12
例：存入日：1999 年6 月20 日 支取日：2000 年3 月11 日
存期天数=360(2000-1999)+30(3-6)+(11-20) =360(1999-1999)+30(12+2-6)+(30+11-20) =0+240+21= 261
注：大月日历日30日与31日被视为同一天；二月当月存 入、当月取出的，按照实际存款天数计算，跨月存入、 取出的，则按照30天计算。
知识回顾:
利率与贴现率的关系： (1) i d (2) d i i
1 d
1 i
i(m)名利率与实利率的关系：
1+i (1 i(m) )m m
d(m)名贴利率与实利率的关系： 1-d (1 d ( p) ) p p
利息力函数与累积函数：
t
)
，a(t
)
t
e 0 r dr
利息理论
——利息基本计算
• 教学目的：通过本节的学习， 使学生会用时间图建立价值方 程，从而求出原始投资的本金 、投资时期的长度、利率或本 金在投资期末的积累值。
• 教学方法：多媒体演示与黑板 板书相结合
2020/5/8
3
Contents
One
时间单位的确定
Two
价值方程
1.2.1 时间单位的确定（非整数时间 问题）
➢ 精确利息计算(exact simple or compound interest)
“实际投资天数/年实际天数”(Actual/Actual) 按实际的投资天数计算，一年为365 天 ➢ 普通利息计算(Ordinary simple/compound interest) ，一般用“30/360” 假设每月有30天，一年为360天
• 解法一：时间单位＝半年。取期初为比较日。则 半年的实际利率为4％，贴现因子为v (1 0.04)1 ， 价值方程为
100 200v10 Xv20 600v16
100
200
X
01
23
4
5
6
7 8 9 10
600
• 解得
X
600v16
100 200v0 v20
600 0.53391100 200(0.67556) 186.76 0.45639
一、一次付款的未知时间问题（主要采用对数法） 。
例3：以每月计息的年名义利率12%投资1万元， 若欲累计到1.5万元，需要几年时间？
解：设要n年，则价值方程为
10000 [11%]n12 15000 (1.01)n12 1.5 log1.011.5 n 12 40.75
因此：需要n=3.4年
这时，两个给定日期之间的天数的计算公式为
360(Y2 -Y1) + 30(M2 -M1)+ (D2 - D1) 其中，Y2、M2、D2分别代表支取日的年、月、日，而
Y1、M1、D1、则分别代表存入日的年、月、日。
例：存入日：1999 年3 月11 日 支取日： 2000 年6 月20 日
存期天数=360（2000–1999）+30（6-3）+（20- 11） = 360+90+9 = 459
• 解法二（等时间法）：作为近似，t 常用各个付款 时间的加权平均来计算，
t'
s1t1 s2t2 sntn s1 s2 sn
s1 s
t1
sn s
tn
例4：预定在第一、三、五、八年末分别付款200元、 400元、300元、600元，假设年实际利率为5%，试 确定一个付款1500元的时刻使这次付款与上面四次 付款等价。1）用等时间法；2）用精确方法。
解：1）t 200 1200 1500 4800 5.13年
1500
2）价值方程为
1500vt 200v 400v3 300v5 600v8
vt 200v 400v3 300v5 600v8 0.785 1500
t=4.96年
20
三、“72”算法
在现实中经常会遇到利率给定的情况下，一笔投 资要多长时间才能翻倍。
1.2.2 价值方程
• 问题：多笔金融业务发生在不同时刻，如 何比较它们的价值？
• 在考虑利息问题时，在不同时刻支付的金 额是不能直接比较的。因为经历的时间不 同，资金金额的变化也不同，也就说，货 币具有时间性，这就是所谓的“货币的时 间价值”（time value of value）。
为了比较在不同时刻支付的金额，实际的做法是 将各个不同时刻的付款积累或折现到同一时刻， 再进行比较。这里提及的“同一时刻”常称为
➢银行家利息法则(Banker's Rule) “实际投资天数/360” 按实际的投资天数计算，但一年设为360天 说明：显然，该算法比上两种算法对贷款 方有利。
注：（1）除非特别说明，总是假定起息日 与到期日不能同时计入利息计算期；
（2）不是所有的利息计算都需要计算 天数(如银行储蓄、债券交易会涉及投资天 数的计算），许多金融业务是自动依月、 季、半年或一年进行的。
f (0.030) 168.71, f (0.035) 227.17
利用线性插值可得j的近似值为
j 0.03 0.005
168.71
0.0321
227.17 168.71
故可得i(2) =2 j=0.0642或6.42%。
四、迭代法
迭代法指通过多次线性插值求得数值结果的方法， 其结果能达到所需要的精度。以具体例题来说明。
s1
s2
s3
s1 s2 sn
； 元。
……
tn
……
sn
• 解法一（精确解）：两者在时刻0的价值相等的价
值方程为
(s1 s2 sn )vt s1vt1 s2vt2 snvtn
得精确解为
t
ln
s1vt1 s2vt2 snvtn s1 s2 sn
ln(v)
10.29 9 7.2 6 4
准确值（年） 17.67 14.21 11.9 10.24 9.01 7.27 6.12 4.19
1.2.4 利率的计算
• 一、用带有指数和对数函数的计算器求i。 • 例5：投资1000元，在6年后累积到1600元，问每季
度计息的年名义利率为多少？
解：价值方程为
1000 [1 i(4) ]24 1600 4
二、多次付款的未知时间问题。
不同时刻多次付款，而要求数值上等于这些付 款之和的一次付款未知时间。（等时间法）
• 假设有两种投资方式
方式一：分别于t1,t2,,tn 投s入1, s2 ,, sn
方式二：在时刻 t 一次投入s1 s2 sn
• 若这两种的投资价值相等，求时刻 t。
t1
t2
t t3
Three
等时间法
Four
利率计算
Five
实例分析
§1.2 利息基本计算
一个利息问题包含四个基本的量： 1.原始投资的本金 2.投资经过的时间 3.利率
期初/期末计息：贴现率/利率 计息方式：单利/复利 利息结转频率：实际利率、名义利率、利息力 4.本金在投资期末的累积值