开环传递函数为:
G(s)
s2
n2 2ns
闭环传递函数为: (s)1 G G (s()s)s22n 2 nsn 2
(s)称为典型二阶系统的传递函数，称为阻尼系数， n 称为无阻
尼振荡频率或自然频率。
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二、二阶系统的单位阶跃响应
特征方程为： s22 nsn 20
特征根为：s1,2nn 21，注意：当 不同时，特征根
o 1,欠阻尼 s1,2 njn 12
一对共轭复根(左 半平面）
衰减振荡
1，临界阻尼 s1,2 n(重根 ) 一对负实重根 单调上升
1，过阻尼 s1,2 nn 21 两个互异负实根 单调上升
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❖二阶系统在各种不同 情况下的闭环极点分布见P95 图3-9
Im [s]
s1
n 1 2
小写 ν ξ ο π ρ σ τ υ φ χ ψ ω
中文名 纽
克西 欧米克隆
派 柔 西格玛 陶 玉普西隆 弗爱 凯 普赛 奥米伽
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这是最常见的一种系统，很多高阶系统也可简化为二阶系统。
一、二阶系统的数学模型 下图所示为稳定的二阶系统的典型结构图。
R(s) -
2 n
C(s)
s(s 2 n )
nt
8 10 12
可以看出：随着 的增加，c(t)将从无衰减的周期运动变为有
衰减的正弦运动，当 1 时c(t)呈现单调上升运动(无振荡)。
可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
20பைடு நூலகம்11.2020
10
三、典型二阶系统的动态过程分析
（一）衰减振荡瞬态过程 (01)：欠阻尼
s1,2 njn 12
（闭环极点）有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同，有振 荡和非振荡两大类情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，两极点位于S平
面的虚轴上，称为零(无)阻尼系统，系统的阶跃响应为持续的等 幅振荡。图3-9(d)
⒉ 当时 0 1，特征方程有一对实部为负的共轭复根，两
个极点位于S平面左半平面,称为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为 衰减的振荡过程。图3-9(c)
解得：
tr
1
d
tg1(
12
)
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11
tr
1
d
tg1(
12
)
s1,2 njn 12
tg ()n1 n21 2
tg1( 12)
tr
d
jn
n
12 jd
n
n
jn 12
称为阻尼角，这是由于 cos 。
可见，当阻尼比一定时，系统的响应速度与自然频率成正 比；而当阻尼频率一定时，阻尼比越小，上升时间越短。
sin(
12
12nt)]
1
ent
12
sin(dt),
t0
d 称为阻尼振荡频率
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上述四种情况分别称为二阶无阻尼、欠阻尼、临界阻尼和 过阻尼系统。其阻尼系数、特征根、极点分布和单位阶跃响应 如下表所示：
阻尼系数
特征根
极点位置 单位阶跃响应
0,无阻尼 s1,2 jn 一对共轭虚根 等幅周期振荡
延迟时间见P97
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12
⒉ 峰值时间 t p ：当t t p 时， c(tp) 0
e nt
c(t)1
s
12
i nd(t),
t0
其中
tg1 1 2
c (t) 1 n e 2 n tp sid n tp () e 1 n t2 p d co d tp s () 0
3-3 二阶系统的时域分析
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1
希腊字母中英对照一览表
大写 A B Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ
小写 α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ
中文名 阿尔法
贝塔 伽玛 德尔塔 伊普西隆 泽塔 伊塔 西塔 约塔 卡帕 兰姆达 米欧
大写 Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω
6
闭环传递函数为: (s)1 G G (s()s)s22n 2 nsn 2
➢当 0 1的欠阻尼时， 极点为： s1,2 njn 12
阶跃响应为： C(s)1ss22n 2nsn2 1ss2s22nsnn2
根据表2-3
1ss2s2nsnn2
s22
n nsn2
c(t)1ent[cos(
12nt)
以上 01 属于振荡情况
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s1,2nn 21
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，两个极点位于S平
面负实轴上,系统时间响应无振荡,称为临界阻尼系统，系统的阶 跃响应为非振荡过程。图3-9(e)
⒋ 当 1时，特征方程有一对不等的实根，两个极点位于S平
面负实轴上,系统时间响应无振荡,称为过阻尼系统，系统的阶跃 响应为非振荡过程。图3-9(f)
c (t) 1 e n t (cd o t s1 2sid n t), t 0
⒈ 上升时间 t r ：根据定义，当 t tr时，c(tr)1。
c ( tr) 1 e n t r(cd o tr s1 2sid n tr) 1
cosdtr 1 2si ndtr0
tgdtr
1 2
n 0 Re
Im [s]
s1 s2 0 Re
Im [s]
s2 s1 0 Re
(a) 0 1
(b) 1
(c) 1
Im [s]
s1
0 Re s2
(d) 0
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C (t)
2
1 .8
1 .6
1 .4
1 .2
1
0 .8
0 .6 0 .4 0 .2
0 0
246
以上 1 属于非振荡情况
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s1,2nn 21
当 0 ，二阶系统具有两个正实部的特征根，又分为两种情况：
5）如果特征根中有虚部，则输出是发散的振荡曲线，如图(a)； 6）如果特征根中无虚部，则输出是发散的单调曲线，如图(b)
0 的情况一般不会出现，故这种情况不讨论。
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n s id tn p ( ) d c o d tp s ) (0
整理得：t
g (dtp)d n
12 t
g
dtpn,(n0,1 ,2,...)
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dtpn,(n0,1 ,2,...)
由于t
p
出现在第一次峰值时间，取n=1，有：tp
n
12 d
可见峰值时间与闭环极点的虚部数值成正比，阻尼比 一定时，闭环极点离负实轴距离越远，系统的峰值时间越 短。这也是因为当闭环极点离负实轴距离越远时，特征根S 中虚部的成分就越多，越容易产生振荡，响应上升越快， 系统的峰值时间越短。