p
?
x
f'
z1
23
二、夫琅合费衍射公式的意义
加有透镜之后，有两个因子与透镜有关：
（1）复数因子
C?
1
i? f
?exp
? ??ik
(
f
??
x2 ? y2 ? 2 f ? )??
? ? 其中 r ? CP ?
f ?2 ? x2 ? y2
?
f ??
x2 ? y2 2f?
结论：若孔径很靠近透镜，r 是孔径原点O处发出的子
y
1、强度分布计算
1
（Intensity distribution calculation ）
b
设矩形孔的长和宽分别为 a
x1
和 b，用单位平面波照射，即
E~ ?x1 ,
y1 ??
?1 ? ?0
在矩孔以内 在矩孔以外
ba
27
将矩孔的复振幅分布代入下式：
?? E~?x, y?? C
? －?
E~?x1
?
E0
2
? ?Cab ?2
先讨论沿y轴方向的分布。 I/I0
在Y轴上，? ?
0,
??sin ? ??2 ?
1.0
1
?? ?
0.8
故：
I
y＝I
0
????
sin
?
?
????2
0.6 0.4
0.2
（1）主极大值的位置：
0.0
-10
当? =0时，I有主极大值 Imax＝I0，
-2-p5
-p
0
p
25p
10
?
30
波到P点的光程，而 kr 则是O点到P点的位相延迟。
QP(x ,y ) 11 ?H
O
C
D
r
?
f'
P(x,y)
24
（2）位相因子
孔径上其它点发出的光波与O 点的光程差：
D＝OH＝OP ? QP ? x sin? ? y sin? ?
1
x1
y
fx?x1 ?
y f?
y 1
而位相差
2p ?
????
x 1
x? f?
y1
2
(2)在振幅项中
x1
1? 1 r z1
Q C
r
z1
K
孔径 ?的衍射
y x
P
P0 E
15
(3)设定孔径函数 E~ ?x 1 , y 1 ?, d ? ? dx 1 dy 1
它在 ?
之外E~?x1,
y1?＝0，在 ?
之内 E~?x1,
y1 ??
A exp(ikR) 。 R
?? E~?x, y?? ? i A ?z
exp(ikl) ? exp(ikR)
l
R
cos(n, l) ? ? 1,
cos(n, r ) ? cos?
( n,l )
( n,r )
?
?r
P
则 K?? ?? 1 ?1 ? cos? ?
2
13
将近似条件代入得到：菲涅耳－基尔霍夫衍射近似公式
?? E~?P ?? ?
i
exp?ikR?
A
exp?ikr ??1 ? cos? ?d?
8 z13
? y1 2 ]2
??
p
y1
Q C
K
x1 r
z1
y x
P
P0 E
17
r
?
z1
?
?x ?
? x1 2 ? ?y ?
2 z1
? y1 2
得到菲涅耳衍射：
称为菲涅耳近似。
?? ? ? E~?x, y?? eikz1 i? z1
? ??
E~?x1
,
y1
?exp ??i
?
k 2 z1
y1
?x ?
x1 ?2
2?
R? r
( n,l )
( n,r )
?
?
r
S
P
R
14
三、基尔霍夫衍射公式的近似
?? E~?P ?? ? i Aexp?ikR? exp?ikr ??1 ? cos? ?d?
2?
R? r
1、傍轴近似（两点近似）
(1) cos?n? ?r??? cos ? ? 1
K?? ?? 1 ?1 ? cos? ?? 1
x1
fx??
y1
fy????????dx1dy1
C ? 1 exp[ik( f ?? x2 ? y2 )]
i?f ?
2f?
O点到P点的位相延迟
孔径上其它点发出的 光波与O 点的位相差。
积分式表示孔径上各点子波的相干叠加。叠 加结果取决于各点发出的子波与中心点发出 子波的位相差。
26
三、矩孔衍射 (Diffraction by a rectangular aperture)
或者
2z
Z<
? ? x12 ? y12 max
?
(菲涅耳衍射)
? ? Z>
x12 ? y12 max ?
(夫琅合费衍射)
20
§2 .典型孔径的夫琅合费衍射
一、衍射系统与透镜作用 1、透镜的作用：无穷远处的衍射图样成象在焦平面上。
? ? 夫琅合费衍射对z的要求 ?=600nm, x12 ? y12 max ? 2cm2
I
y＝I
0
????
sin
?
?
????2
（2）极小值的位置：
I/I0
当? =np, n=+1,+2,…时，即 1.0
0.8
pyb ? np , y ? n ?f ? 0.6
?f ?
b
I=0,有极小值。0.4
主极大值的宽度： 0.2
?＝? p Y＝2 ?f ?
b
0.0
-10
-2-p5 -p 0 p 25p
1 ? ?x ? x1 ?2 ? ?y ? y1 ?2
z1 2
?
z1
?
?x ?
x1 ?2 ? ?y ?
2 z1
y ?y ?
8 z1 3
? y1 2 ]2
? ....
r
?
z1
?
?x ?
x1 ?2 ? ?y ?
2 z1
? y1 2
近似条件：
2p ?
? [?x ?
x1 ?2 ? ?y ?
根据光源、衍射屏和观察屏三者之间的位置确定
（1）夫琅和费衍射(Fraunhofer diffraction)： 距离衍射屏远处的衍射。
（2）菲涅耳衍射（ Fresnel diffraction ）： 距离衍射屏近处的衍射。
K ? S
4
菲涅耳衍射与夫琅和费衍射的区别
菲涅耳衍射
夫琅和费衍射
1
源点和场点均满足傍轴近似 ，但不同时满足远场近似
?＝
A i?
?? ?expl?ikl??expr?ikr
??cos?n,
??
r
??
2
cos?n,
l
????d?
子波的复振幅与
K(?) ? cos?n, r ?? cos?n,l ?
2 成正比，与波长? 成反比。
?
i
?
1
?
exp[? i
p ]
i
2
表示子波的振动位相超 前于入射波 90?。
12
当光线接近于正入射时
在傍轴近似下，公式中 x′/Z1 由 x /f ' 代替。计算公式变为：
?? E?x, y?? C
E~
?x1
,
y1
?exp
? ?? ?
ik
????
x1
x? f?
y1
fy????????dx1dy1
C
?
exp[ik
(
f
??
x2 ? y2 2 f?
)]
i?f ?
(x, y )
p' (x', y' )
x'
y1 y
?
x2 ? y2 2z1
E~?x, y??
exp[ik ( z1
?
x2 ? y2 )] 2z1
i? z1
??? ??
E~?x1,
y1 ?exp???
?
i
k z1
?xx1
?
yy1 ???dx1dy1
?
19
菲涅耳衍射和夫琅和费衍射是两个经常应用的衍射计算。
菲涅耳衍射和夫琅合费衍射的判别式；
? ? k x12 ? y12 max ?? p
10
?
Y
31
（3）次极大值的位置：
对于其它的极大值点，有 1.0
d d?
????
sin ?
?
????2
?
0，即tg?
?
?
0.8
0.6
? 可用作图求解。
注意：次极大值位置 不在两暗纹的中间。
（4）暗条纹的间隔
e ? ?f ?
b
0.4
-1.43p
0.2
-2.45p
1.43p 2.45p
0.0
-10
? -5 ?p 0 p 52p
2 ?a
b
2 ?b
exp?? ik?lx1 ? my1 ??dx1dy1
22
a
b
? ? ?
C
2 ?a
exp??
iklx1 ?dx1
? 2
?b
exp