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傅里叶变换和小波变换简介
傅里叶变换
• 1807年傅立叶提出“ 任何周期信号都可用 正弦函数级数表示”
• 1829年狄里赫利第一 个给出收敛条件
• 拉格朗日反对发表
• 1822年傅立叶首次发 表在“热的分析理论”
• 一书中
傅立叶，1768年生于法国
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傅氏变换简介
傅立叶变换历史： 1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)
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《热的分析理论》
书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称， 他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中 断言：“任意”函数（实际上要满足 一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列 举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完 整的证明。
在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 。 泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广 泛应用。 19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的 解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很 多的优点。 “FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深 入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在 的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构 造小波基的同意方法枣多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten Lectures on Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作 用。
傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从 而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展； 其次，傅里叶 级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域 。
傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具， 并且认为“对自然界的深刻研 究是数学最富饶的源泉。” 这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的
为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里
叶才把他的成果以另一种方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822
年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史 上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。
作为一名出色的数学家，傅立叶更清楚两点之间线段最短，但特殊 情况下，也许曲线更有生命力，他的曲线不仅解决了个人问题更是解决 了数学应用上的大问题。
但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非 稳定信号的工具就是小波分析。
小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小区域、长度有限、 均值为0的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波” 则是指它 的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变 换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数) 逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分， 能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解 决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的 重大突破。
一种代表性的观点。
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一、三角函数的傅里叶级数:
f1(t)a0 (anco n1 stbnsin n1t) n 1
直流
基波分量
谐波分量
分量
n =1
n>1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 T1
n1
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求上式中的系数
∫ 直流分量
a0=
1 T1
t0 T1 f t .dt
t0
余弦分量
系数
anT21
t0T1 t0
f(t)c. ons1t.dt
在1759年拉格朗日(grange)表示：
不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非 常有限。
傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一 篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。
这篇论文经 J.-L.拉格朗日, P.-S.拉普拉斯, A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中 初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭 拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。
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小波分析 (Wavelet)
小波变换历史： 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理
的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如
1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念 未能得到著名数学家 grange，place以及A.M.Legendre的认可一样。
傅立叶变换在物理的数据处理中占据着举足轻重的地位，在后面 将展示我们物理学院与之相关的实验。
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小波分析与傅立叶变换
从数学地角度来看，信号与图象处理可以统一看作是信号处理(图象 可以看作是二维信号)，在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以 归结为信号处理问题。现在，对于其性质随时间是稳定不变的信号， 处理的理想工具仍然是傅立叶分析。
正弦分量
系数
bn
2 T1
t0T1 t0
f(t)s. inn1t.dt
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傅立叶变换应用
傅里叶变换应用： 傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学；数论、组
合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、通讯、海洋学等 领域都有着广泛的应用。 例如在信号处理中，傅里叶变换的典 型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。