1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
避圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
总造价=1+4+9+3+17+23=57
其他树——搜索树
一、-方法（是人工智能中常用 方法） 例9-8：有n根火柴，甲乙两个依 次可以从中任意取走1根或2根， 但不能不取，取走最后一根火柴 者为胜方，试讨论取胜策略。为 了便于理解，不妨假设n=7。
若甲方胜时得分+1，乙方胜 时甲方得分-1，无凝轮到甲方取 时一定选择能使他进入得分+1状 态。同理轮到乙方取时一定选择 能使甲方进入得分-1状态。
一个子图与生成树的区别是：子图与 原图相比少弧又少点，生成树与原图 相比少弧不少点。
定理 图 G有生成树的充分必要条件为图是连 通图。 定义（最优树） 在赋权图G中，一棵生成树所有树柱上权 的和，称为生成树的权。具有最小权的 生成树，称为最优树（或最小树）。 求最小树的方法有破圈法和避圈法。
例9-7
3 在图中不相邻的两个顶点之间加一条 边，可得一个且仅得一个圈。 4 图中边数有ne=p-1（p为顶点数）
例9-6
g e d f
h
b a c
e d f
b
g
d
f
b
e d
b c
h
b a c
g
d
f
a
定义（生成树）
如果图T是G的一个生成子图，而且T 又是一棵树，则称图T为一棵生成树。 对于分离图，则称为生成森林。
23 v6 28 v5
v1
v2 20
1
v7 36 25 17
4
9 16 v4
15 v3
3
破圈法
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25
D
C
B
例9-2：有7个人围桌而坐，如果 要求每次相邻的人都与以前完全 不同，试问不同的就座方案共有 多少种？ 用顶点表示人，用边表示两者 相邻，因为最初任何两个人都允 许相邻，所以任何两点都可以有 边相连。
1
7 2
6
3
5
4
假定第一次就座方案是 （1，2，3，4，5，6，7，1）， 那么第二次就座方案就不允许这 些顶点之间继续相邻，只能从图 中删去这些边。
e3
e5
v4
e4 e8
v3 e7 v5
V= （ v1， v2，…... v6） E= （ e1， e2，…... e8） （e1）= （v1， v2） （e2）= （v1， v2） （e7）= （v3， v5）
（e8）= （v4， v4）
(e8)= (v4， v4),称为自回路(环)；
v2
v4
v5
（a）的生 成子图
v1 e5
v2 e2
v3
e6
v4 e8
v5
（a）的导 出子图
v1 e5
v2 e1
e6
v5
定义（简单图）如果图中任意 两个顶点之间至多有一条边， 则称为简单图，否则称为多重 图。
定义（有向图）如果图中每一 条边都规定了方向，则称为有 向图。
定义（链）如果图中的某些点、 边可以排列成点和边的交错序 列，则称此为一条链。
v2 20
1
v7
4
9 16 17 v4
15 v3
3
v1 23 v6 28 v5 25 17 16
v2
1
v7
4
9
15 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17 16
v2
1
v7
4
9
15 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17
v2
1
v7
4
9 v3
3 v4
v1 23 v6 28 v5 25 17
e3
v2
v3
e7
e4
e5
e1 v1 v2 v3 v4 1 0 0 -1
e2 -1 0 1 0
e3 1 -1 0 0
e4 0 -1 1 0
e5 0 -1 0 1
e6 0 0 1 -1
e7 0 0 -1 1
对无向图不存在-1 元素 。
9-2
最优树问题
树是一类极其简单而很有用的图。 定义（链）如果图中的某些点、边 可以排列成点和边的交错序列，则 称此为一条链。
第九章
图与网络
引言 图论是专门研究图的理论的一门 数学分支，属于离散数学范畴，与 运筹学有交叉，它有200多年历史， 大体可划分为三个阶段： 第一阶段是从十八世纪中叶到十九 世纪中叶，处于萌芽阶段，多数问 题围游戏而产生，最有代表性的工 作是所谓的Euler七桥问题，即一笔 画问题。
第二阶段是从十九世纪中叶到二 十世纪中叶，这时，图论问题大 量出现，如Hamilton问题，地图 染色的四色问题以及可平面性问 题等，这时，也出现用图解决实 际问题，如Cayley把树应用于化 学领域，Kirchhoff用树去研究电 网络等.
7
+1 6 +1 5 -1 4 3 +1 +1 3 +1 4 -1 2
+1 -1 5 +1 4 +1 3 -1 2 -1 2 -1 3 -1 1
-1 3 -1 2 1
+1 2 -1
+1 2
+1 1
+1 2
+1 1
+1 2
+1 1
在树形图中，圆圈中数字7 表示轮到甲方取时还有7根，方 框中数字6表示表示轮到乙方取 时还有6根，依次类推。显然， 一旦最后出现方框（1或2）状态 时乙方胜。反之，若最后出现圆 圈（1或2）状态时甲方胜。
1
7 2
6
3
5
4
1
7 2
6
3
5
4
例9-3：哈密顿（Hamilton）回 路是十九世纪英国数学家哈密顿 提出，给出一个正12面体图形， 共有20个顶点表示20个城市， 要求从某个城市出发沿着棱线寻 找一条经过每个城市一次而且仅 一次，最后回到原处的周游世界 线路（并不要求经过每条边）。
例9-4：一个班级的学生共计选修A、 B、C、D、E、F六门课程，其中一部 分人同时选修D、C、A，一部分人同 时选修B、C、F，一部分人同时选修B、 E，还有一部分人同时选修A、B，期 终考试要求每天考一门课，六天内考 完，为了减轻学生负担，要求每人都 不会连续参加考试，试设计一个考试 日程表。
定义（圈）如一条链中起点和 终点重合，则称此为一条圈。
有向图 v1 e5 e6 e4 e7 v4 e8 v5 v2 e1 e3 e2 v3
v1
v2 e1 e3
e6
e7 v4 v5
圈 v1 v2 e1 e3
e6
e7 v4 v5
二、图的矩阵表示
一个图非常直观，但是不 容易计算，特别不容易在计算 机上进行计算，一个有效的解 决办法是将图表示成矩阵形式， 通常采用的矩阵是邻接矩阵、 边长邻接矩阵、弧长矩阵和关 联矩阵。
v2
1
v7
4
9 v3
3 v4
v1 23 v6 28
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
v1 23 v6 28
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
v1 23 v6
v2
1
v7
4
9 v3
3 v5 17 v4
总造价 =1+4+9+3+17+23=57
v1 23 v6 28 v5 36 25
v2 20
解：以每门课程为一个顶点，共同被选 修的课程之间用边相连，得图，按题意， 相邻顶点对应课程不能连续考试，不相 邻顶点对应课程允许连续考试，因此， 作图的补图，问题是在图中寻找一条哈 密顿道路，如C—E—A—F—D—B，就 是一个符合要求的考试课程表。
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
A
B
F
C
E
D
9.1 图的基本概念
如果V1 V， E1 是E中所有端 点属于V1的边组成的集合，则称 G1是G的关于V1的导出子图；
如果G1=（V1，E1，1）是G= （V，E，）子图，并且V1= V， 则称G1为G的生成子图。
v1 e5
v2 e1 e3 e2
v3
e6 e4 e7
v4 e8
v5
（a） 的子图 v1 e5 e1 e3
4
v2
3 2
v1
5
v3
6
4
v4
v1 v2 v3 v1 v2 v3 v4 0 2 5 6 2 4 3 5 3 0 4
v4 6 4 0
其中表示两点之间不能连接 。
3 弧长矩阵
对有向图的弧可以用弧长 矩阵来表示。其中表示两点 之间没有弧连接 。
v2 1 v1 4 2 3
2
v3
2 1
2
6
A C
D
B
最后，数学家Euler在1736年巧 妙地给出了这个问题的答案，并因 此奠定了图论的基础，Euler把A、B、 C、D四块陆地分别收缩成四个顶点， 把桥表示成连接对应顶点之间的边， 问题转化为从任意一点出发，能不 能经过各边一次且仅一次，最后返 回该点。这就是著名的Euler问题。