ai1x1ai2x2Lainxnxn2bi
xn20
10
实验准备1
2．线性规划问题的解
在满足约束条件Axb,x0的向量 x(x1,x2,Lxn)T
称为线性规划问题的可行解，全体可行解组成的集合
称为可行域，使目标函数minzcTx 达到最小值
的可行解称为最优解。 如果矩阵A的某m列所构成的方阵B是满秩的，则B
。
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实验准备
线性规划是运筹学中产生较早的一个分支，如今在 国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物 学等众多学科和领域里起着十分广泛的应用。
线性规划是在一组线性条件的约束之下，求某一个 线性函数的最值问题。一般地，线性规划的数学模 型为：
min(max)z c1x1 c2x2 L cnxn s.t. ai1x1 ai2x2 L ainxn (,)bi
则线性规划问题可写为：
min(max)z cT x
s.t. Ax (, )b
这里，z

cT
x
称x为i 目0标, i函数1，, 2x
,L n.
i 为目标函数的决策变
量，c为费用系数，是常数向量;
Ax(,)b称为约束条件，A为线性规划的系数矩阵 ，它是常数矩阵，b为利润（费用）向量，其中s.t.是 subject to的缩写，意思是“满足约束条件”。
从基可行解上寻找最优解就行了。由于基可行解的个 数是有限的，只要对所有的基可行解一一检查，就可 以在有限次计算后确定最优解或断定该问题无最优解
12
Matlab 准备
x = linprog( c , A , b ) 求解线性规划模型 Ax b；
x = linprog( c , A , b , Aeq , beq ) 求解模型,增加条件等式约 束条件，但没有指定x的上下界；
8
实验准备1
1．线性规划的标准形式 线性规划问题的标准形式为
min z cT x s.t. Ax b
xi 0, i 1, 2,L n.
任何一种线性规划都可以等价地转换为标准形式。 （1）目标函数的标准化
若原问题是求 maxzcTx可以转换为求 minzcTx
即可。
9
实验准备1
86
25
12
880
430 180
450
160 100
4
这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同 时还要求：
（1）受广告影响的妇女超过200万； （2）电视广告的费用不超过450（千元）； （3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播
出2次； （4）通过网络媒体、杂志做的广告要重复5到8次
当基解所有的分量都取非负时，即满足xB≥0，则称其 为基可行解，相应的基阵B的列向量构成可行基
既是最优解，又是基可行解的 称为最优基解。 定理1 如果线性规划（3）有可行解，那么一定有基
可行解。 定理2 如果线性规划（3）有最优解，那么一定存在
一个基可行解是最优解。 以上定理说明了如果所给的线性规划有最优解，只要
的列向量 pi1, pi2,L pim构成线性规划的一组基，称B 为线性规划问题的一个基阵，A的剩余部分组成的 子矩阵记为N，则A可以写成A=(B, N)。x则相应 地可以写成x=(xB, xN)T，xB的分量与B的列相对应 ，称为基变量；xN的分量与N的列相对应，称为非 基变量。
11
实验准备1
在约束Ax=b中令所有非基变量取值为零时，得到的 x=(B-1b, 0)称为与B相对应的基解
出未知变量的线性方程或线性不等式； 第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线
性函数，以便求其最大或最小值。
问题分析
1．引例问题的分析与模型的建立
首先，确定决策变量，要求如何安排白天电视、最佳时段电 视、网络媒体、杂志广告的次数，用符号表示，分别设定为
x = linprog( c , A , b , Aeq , beq , lb , ub ) 求解线性规划模 型，增加x的上下界；
x = linprog( c , A , b , Aeq , beq , lb , ub , x0 ) 指定迭代的 初始值x0；
如果模型中不包含不等式约束条件，可用［］代替A和b表示缺省 ；如果没有等式约束条件，可用［］代替Aeq和beq表示缺省；如 果某个xi无下界或上界，可以设定lb（i）＝－inf或ub（i）＝inf；
i 1,2,L m. xj 0, j 1,2,L n.
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实验准备1
用矩阵、向量符号，可以简化线性规划模型 的表示：
a11 a12 L a1m x1 b1 c1 Aa21 a22 L a2n,xx2,bb2,cc2
L L L L L L L an1 an2 L ann xn bn cn
7
实验准备1
用［x , Fval］代替上述各命令行中左边的x，则可得到在最优解x 处的函数值Fval；
可以在MATLAB帮助文件中查阅有关该命令的详细信息。
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实验方法
建立线性规划模型有三个基本步骤： 第一步，找出待定的未知变量（决策变量），
并用代数符号来表示它们； 第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写
（2）约束条件标准化––––松弛变量法
如果约束条件中有不等式：
a i1 x 1 a i2x2 La inxnb i
或者 a i1 x 1 a i2x2 La inxnb i 通过引入两个非负变量 xn1, xn2 将上述约束
条件转换成下面等价形式：
或
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数学建模实 验
王汝军 河西学院数学与统计学院
wangrujun711163
1
实验三 最佳广告编排方案
王汝军 河西学院数学与统计学院
wangrujun711163
2
实验目的
1．了解线性规划问题及其可行解、基本解 、最优解的概念。
2．通过对实际应用问题的分析，初步掌握 建立线性规划模型的基本步骤和方法。
3．学习掌握MATLAB软件求解有关线性规 划的命令。
3
实验内容
一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告， 其目的是争取尽可能多地招徕顾客。下表是公司进行 市场调研的结果：
白天
每次做广告费用（千元） 45
受每次广告影响的顾客 数（千人）
350
受每次广告影响的女顾 客数（千人）
260
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