第二讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。
教学目标
1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法；
2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求平面的法向量；
求解直线与平面所成的角的向量法.
教学难点
求解直线与平面所成的角的向量法.
教学过程
Ⅰ、复习回顾
一、回顾有关知识：
1、直线与平面所成的角：（范围：]2
,
0[π
θ∈）
思考：设平面α的法向量为n ，则><BA n ,与θ的关系？
A
B
θ
αO
⇔n
1）
据图分析可得：结论：
2、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
例1、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值.
分析：直线与平面所成的角步骤： 1. 求出平面的法向量 2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
（图2）
x
y
Z
A
y
x
C
B
1
A D 1
B 1
C 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a AB a AA ==
)2,2
1,23(1a a a AC -
= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n =
由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
00
020
01z y ay az AB n AA n 取1=x ，)0,0,1(=∴n 设1AC 和B B AA 11面所成角为θ
213|
23||
||||||,cos |sin 2
211=-=
⋅=
><=∴a
a N AC n AC n AC θ ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1
. 点拨 要注意“直线与平面所成的角”与“直线的方向向量与平面的法向量所成角”之间的关系，通常求斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其锐角就是斜线和平面所成的角。
练习1：如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的
正三角形，侧棱长为3，求BB 1与平面AB 1C 1所成的角.
解：建立如图所示的空间直角坐标系O xyz . 则A (－1，0，0)，B (0，
3，0)，B 1(0，
3，3)，C 1(1，0，3)．
设平面AB 1C 1的一个法向量为(,,)n x y z =，
由
令z ＝2，得(3,3,2)n =-． 设直线BB 1与平面AB 1C 1所成角为θ，
则sin θ＝|cos 〈n ，BB 1→
〉|＝|n ·BB 1→
||n ||BB 1→|
＝64×3＝1
2
.
又0＜θ≤π2， ∴θ＝π
6.
练习2：如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点．求1BC 和面EFBD 所成的角.
解：如图建立空间坐标系D xyz -， 则(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB = 设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y =
由0
DE n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112
sin |cos ,||
|2||||
BC n BC n BC n θ⋅=〈〉==
∴ 1BC 和平面EFBD 所成的角为4
π．
Ⅲ、小结与收获
1、直线与平面所成的角的正弦值 |
||||,cos |sin AB n AB n =
><=θ
2、求平面法向量的方法.
Ⅳ、课后练习
1、 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点. 求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值.
y。