九年级数学圆中的计算问题华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容： 圆中的计算问题【知识与技能】1. 探索归纳圆的弧长、扇形面积公式，会恰当运用公式进行弧长、扇形面积的有关计算。
2. 了解圆柱、圆锥的特征，认识圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形、扇形，并会计算侧面积及全面积。
【过程与方法】在探索归纳弧长、扇形面积公式时，体现了“从特殊到一般”的数学思维方法。
【情感、态度、价值观】在探求公式过程中，提高推理、归纳能力及应用意思，培养与他人合作能力，进一步发展我们对立体图形的了解，同时也增强空间立体感。
【教学过程】 1. 弧长公式：l n r=π180注意：（1）在弧长公式中，n 表示“1°”的圆心角的倍数，在应用公式计算时，“n ”和“180”不应再写单位。
（2）在计算时，若题目中没有标明精确度，可以用“π”表示弧长，如弧长是3π，π，15.π等。
（3）在弧长公式中已知l n r 、、中的任意两个量都可以求出第三个量。
2. 扇形：（1）定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
如图：（2）周长：扇形的周长等于弧长加上两个半径的长，即l r +2。
（3）面积：S n r =π2360或S lr =12注意：①公式S n r =π2360中的“n ”与弧长公式中“n ”的意义一样，表示“1°”圆心角的倍数，参与计算时不带单位。
②S lr =12与三角形面积公式S ah =12十分相似，为了便于记忆，可以把扇形看作曲边三角形，把弧长看作底，半径r 看作底边上的高。
③注意二个公式的区别。
如：已知半径r、圆心角度数求S，用Sn r=π2 360。
已知半径r、弧长l求S，用S lr=12。
④已知：S l n r、、、四个量中任意两个量，可以求出另外两个量。
3. 圆柱的侧面积与全面积（1）侧面展开图是矩形，一组对边等于母线长，另一组对边等于底面圆的周长。
（2）S rh柱侧=2π（r为底面半径，h为高）（3）S S S全柱侧底=+2注意：圆柱有无数条母线，母线长等于圆柱的高。
4. 圆锥的有关概念圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，如图（1），我们把圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。
5. 圆锥的侧面积和全面积沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长。
如图（2）所示，若圆锥的底面半径为r，母线长为a，则它的侧面积：()S a r raS S S ra r r a r侧全侧底·===+=+=+1222πππππ注意：①圆锥有无数条母线，圆锥的母线长不等于圆锥的高。
②圆锥的母线长为侧面展开后扇形的半径，注意与圆锥底面半径区分。
6. 阴影部分面积的求法常用的有公式法、割补法，还有等积变形法、方程法、对称法等。
【典型例题】例1. 一圆弧的圆心角为300°，它所对的弧长等于半径为6cm 的周长，求该圆弧所在圆的半径。
分析：已知弧长与圆周长之间的关系，考虑运用弧长公式和圆周长公式。
解：设弧所在圆的半径为R根据题意得：30018026ππR=⨯ 解得：R cm =72.()说明：弧长公式中l n R=π180中，三个量l n R 、、已知其中两个量，都可以求出第三个量，其中n 没有单位，l 与R 的单位要一致。
例2. 如图，正△ABC 内接于⊙O ，边长为4cm ，求图中阴影部分的面积。
分析：连结OA 、OC ，阴影部分面积看作是扇形AOC 与△AOC 的面积之差，所以关键是求⊙O 的半径及∠AOC 。
此题考查组合图形面积的求法及扇形面积公式等。
解：连结BO 并延长交AC 于E ，连结OA 、OC ∵△ABC 是正三角形且内接于⊙O ∴BE ⊥AC AE AC cm ==122 ∠AOC ＝120°，∠AOE ＝60° ∴在Rt AEO ∆中，OA AE cmOE OA cm=︒====sin 6023243312233∴==⎛⎝ ⎫⎭⎪===⨯⨯=S n R S AC CE AOC AOC 扇形··πππ2236012036043316312124233433∆ ∴=-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪S S S cm AOC AOC 阴扇∆1694332π 本题还可另解：()S S S OABC 阴影⊙=-13∆S R A R B R C R D R E 阴·····=︒∠+︒∠+︒∠+︒∠+︒∠πππππ22222360360360360360 ()()=︒∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯-⨯︒=n R A B C D E n R πππ22360360521803例4. 解：所以蚂蚁的最短路线长为130cm 。
例5. O 到弦 解： 因为在图（2）中，⊙O'的周长等于图（1）中AB ⋂的长所以，290180114ππ··，，O A OA OA O A ''=== 所以，OO OA O A ''=-=≠2215422例6. 底面积。
分析：已知 解：在Rt ∆∴=︒=⨯==︒=⨯=BC AC AB AC ··sin cos 3081243083243设圆柱的底面半径为R（1）若AD 为母线长，则AB 为底面圆的周长 ∴==24323ππR R ，∴==⨯=S R πππ24312 （2）若AB 为母线，则AD 为底面圆的周长∴==∴==⎛⎝ ⎫⎭⎪=2422422ππππππR R S R ，·故圆柱的底面积为12π或4π说明：本题主要应理解圆柱的侧面展开图为矩形，相邻两边为母线长和底面圆的周长，例7. AD 和CD ⋂分析： 则S COD ∆ ∴=S 阴 解：连 ∵C 、D 是半圆的三等分点∴∠CDA ＝∠BAD ，∠COD ＝60° ∴CD ∥AB∴=S S CAD COD ∆∆ ∴===S S COD阴扇·60636062ππ（平方厘米）说明：本题运用的方法叫等面积变换法，这是一个重要的方法。
例8. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，若以AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥的侧面积为S 1，以BC 为底面圆半径，AC 为高的圆锥的侧面积为S 2，则（ ）S BC ABAC BCS S 212=>∴>π··选B说明：圆锥也可以看做是直角三角形绕一条直角边旋转一周而成的图形。
S ，S 射向地面的光SOSO 。
∴=∠=︒=⨯=≈SO OA ASO ··cot cot .2760273393156（米） 答：光源离地面的垂直高度为15.6米。
说明：本题的实质是解Rt △。
【模拟试题】一. 选择题。
1. 在半径为3的⊙O 中，弦MN ＝3，则MN ⋂的长为（ ）A. π2B. πC. 32π D. 2π2. 扇形的周长为16，圆心角为360︒π，则扇形的面积为（ ）A. 16B. 32C. 64D. 16π3. 如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的14，那么这个圆柱的侧面积是（ ） A. 1002πcm B. 2002πcm C. 5002πcmD. 2002cm二. 填空题。
1. 直径为12cm 的圆，60°圆周角所对的弧的弧长为___________厘米。
AB度。
5. 若圆锥的母线长为6cm ，侧面展开图是圆心角为300°的扇形，则圆锥底面半径为___________cm 。
6. 圆锥底面半径为4 cm ，母线长为24cm ，则侧面展开图中扇形的圆心角为__________。
7. 若用半径为15cm ，圆心角为216°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为___________cm 。
三. 解答题。
D，【试题答案】一. 选择题。
1. B2. A3. B4. B5. D二. 填空题。
1. 4π 2. π（厘米） 3. 150 4. 16π 5. 5 6. 60°7. 12三. 解答题。
1. 由条件可求得：∠AOB ＝120°及⊙O 的半径 过O 作AB 的垂线，构造直角三角形可求出AB AB cm =932. S S S ABC AEF 阴影扇形=-∆曲线面积的求法常转化为有公式可求的图形面积的代数和 S 阴影=+-22376π 3. （1）在Rt ABC ∆中，因为∠C ＝90°，AC BC ==2所以，∠A ＝∠B ＝45°，AB ＝2 所以，AD BD AB CE CA AE ====-=-12121， 所以，DE ⋂的长＝DF ⋂的长＝4511804ππ⨯=EF ⋂的长＝()9021180212⨯⨯-=-ππ（2）S S S S S ABC ADE BDF CEF 阴影扇形扇形扇形=---∆=--12222π()cm 4. 连结O O 12，O B cm O O cm 112512==， 所以，O B cm 213=S BC O B S O B 圆锥侧底=⨯⨯⨯==⨯=126525212ππππ所以，S 全=+=652590πππ。