微分方程初值问题数值解习题课一、应用向前欧拉法和改进欧拉法求由如下积分2xt y e dt -=⎰所确定的函数y 在点x =0.5,1.0,1.5的近似值。

解：该积分问题等价于常微分方程初值问题2'(0)0x y e y -⎧=⎪⎨=⎪⎩其中h=0.5。

其向前欧拉格式为2()100ih i i y y he y -+⎧=+⎪⎨=⎪⎩改进欧拉格式为22()2(1)10()20ih i h i i h y y ee y --++⎧=++⎪⎨⎪=⎩将两种计算格式所得结果列于下表二、应用4阶4步阿达姆斯显格式求解初值问题'1(0)1y x y y =-+⎧⎨=⎩00.6x ≤≤ 取步长h=0.1.解：4步显式法必须有4个起步值，0y 已知，其他3个123,,y y y 用4阶龙格库塔方法求出。

本题的信息有：步长h=0.1；结点0.1(0,1,,6)i x ih i i ===；0(,)1,(0)1f x y x y y y =-+==经典的4阶龙格库塔公式为11234(22)6i i hy y k k k k +=++++1(,)1i i i i k f x y x y ==-+121(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+232(,)0.05 1.0522i i i i hk hk f x y x y k =++=--+433(,)0.1 1.1i i i i k f x h y hk x y k =++=--+算得1 1.0048375y =,2 1.0187309y =,3 1.0408184y =4阶4步阿达姆斯显格式1123(5559379)24i i i i i i hy y f f f f +---=+-+-1231(18.5 5.9 3.70.90.24 3.24)24i i i i i y y y y y i ---=+-+++由此算出4561.0703231, 1.1065356, 1.1488186y y y ===三、用Euler 方法求()'1,0101x y e y x x y =-++≤≤=问步长h 应该如何选取，才能保证算法的稳定性？解：本题(),1xf x y e y x =-++(),0,01x y f x y e x λ'==-<≤≤本题的绝对稳定域为111x h he λ+=-<得02x he <<，故步长应满足02,00.736he h <<<<四、求梯形方法111[(,)(,)]2k k k k k k hy y f x y f x y +++=++的绝对稳定域。

证明：将Euler 公式用于试验方程'y y λ=，得到11[]2k k k k hy y y y λλ++=++整理11(1)22k k h h y y λλ+⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 设计算k y 时有舍入误差,0,1,2,k k ε=，则有11(1)22k k h h λλεε+⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭据稳定性定义，要想1k k εε+≤，只须1122h hλλ+≤-因此方法绝对稳定域为复平面h λ的整个左半平面（？），是A-稳定的。

五、对初值问题'(0)1y y y =-⎧⎨=⎩01x ≤≤ 证明：用梯形公式111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++求得的数值解为22nn h y h -⎛⎫= ⎪+⎝⎭并证明当步长0h →时，n y 收敛于该初值问题的精确解xn y e -=证明：由梯形公式，有1111[(,)(,)][]22n n n n n n n n n h hy y f x y f x y y y y ++++=++=+--整理，得122n n h y y h +-⎛⎫= ⎪+⎝⎭由此递推公式和初值条件，有02222nnn h h y y h h --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭[0,1]x ∀∈，则有在区间[][]0,0,1x ⊆上有 n x x nh ==，步长xh n=，由前面结果有02222022lim lim lim 1222lim 12x nhn n n h xhhh xh h h y h h h e h →∞→∞→-++--→-⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-= ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦由x 的任意性，得所证。

六、对于微分方程'(,)y f x y =，已知在等距结点0123,,,x x x x 处的y 的值为0123,,,y y y y ，h 为步长。

试建立求4y 的线性多步显格式与与隐格式。

解：取积分区间24[,]x x ，对'(,)y f x y =两端积分：()()442242(,)x x x x y x y x dy f x y dx -==⎰⎰对右端(,)f x y 作123,,x x x 的二次插值并积分4242021*********(,)[()(,)()(,)()(,)]x x x x f x y dxl x f x y l x f x y l x f x y dx≈++⎰⎰112233123((,)(,)(,))337h f x y f x y f x y =-+ 得到线性4若对右端在34,x x 两点上作线性插值并积分，有424201331144(,)[()(,)()(,)]x x x x f x y dxl x f x y l x f x y dx≈+⎰⎰442(,)hf x y =由此产生隐格式()42442,y y hf x y =+七、证明线性多步法111(3)()2n n n y h f f αα+-+=++n n-1n-2（y -y ）-y 存在α的一个值，使方法是4阶的。

解： 由本题的公式，有111(3)()2n n n y h f f αα+-=-+++n n-1n-2（y -y ）+y11()n n n T y x h y ++=+-234(4)5[()'()''()'''()()()]2!3!4!n n n n n h h h y x hy x y x y x y x O h =+++++1[(()())(2)(3)(''())]2n n n n n y x y x h y x h h y y x h αα----+-+++-234(4)5[()'()''()'''()()()]2!3!4!n n n n n h h h y x hy x y x y x y x O h =+++++234(4)5()(()'()''()'''()()())2!3!4!n n n n n n h h h y x y x hy x y x y x y x O h αα+--+-++234(4)5(2)(2)(2)(()2'()''()'''()()())2!3!4!n n n n n h h h y x hy x y x y x y x O h --+-++23(4)51(3)('()'()''()'''()()())22!3!n n n n n h h h y x y x hy x y x y x O h α-++-+++ 2111[12(3)]'()[2(3)]''()222n n hy x h y x αααα=++-++--++31141[(3)]'''()6634n h y x αα+++-+ 2(4)51121[(3)]()()2424312n h y x O h αα+--+++34(4)5311()'''()(9)]()()41224n n h y x h y x O h αα=-+-++当α=9时，51()n TO h +=，局部截断误差是4阶的，故该多步法是4阶方法。

数值积分习题解答说明1.确定下列求积公式中的参数，使其代数精度尽可能高，并指出对应的代数精度（1）101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰ （2）21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰（3）()1121()12()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎡⎤⎣⎦⎰（4）[][]20()(0)()/2(0)()hf x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰6.若用复化梯形公式计算10x I e dx =⎰问区间[0,1]应分成多少等份才能使截断误差不超过51102-⨯ ？若用复化辛普森公式，要达到同样的精度，区间[0,1]应分成多少等份？7．如果()0f x ''>，证明用梯形公式计算定积分()baI f x dx =⎰所得结果比准确值I 大，说明其几何意义。

10．构造Gauss 型求积公式100110()()()f x dx A f x A f x ≈+⎰11.用n=2,3的高斯-勒让德公式计算积分31sin x e xdx ⎰13.证明等式3524sin...3!5!n nn n ππππ=-+试依据sin(3,6,12)n n nπ=的值，用外推算法求π的近似值。

定理 6.4 设函数0()F h 逼近数*F 的余项为312*012312(),0p p p F F h h h h p p ααα-=+++<<<(6.23)则由()()11001(),011p p F qh q F h F h q q-=<<- ，q 为任意常数 定义的函数1()F h 也逼近*F ，且有()()3211*123()p p F F h h hαα-=++17. 确定数值微分公式的截断误差表达式00001()[4()3()(2)]2f x f x h f x f x h h'≈+--+ 答()23f h ξ'''。