2019年安徽省安庆一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|log2x＜0}，则∁A B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（）A．9 B．8 C．7 D．64．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A． B． C．D．5．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，则C的渐近线方程为（）A．B．C．D．y=±x6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A．B．C．D．7．若a＞0，b＞0，则称为a，b的调和平均数．如图，点C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，点O为线段AB中点，以AB为直径做半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C 作OD的垂线，垂足为E，则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，那么图中表示a，b的几何平均数与调和平均数的线段，以及由此得到的不等关系分别是（）A．B．C．D．8．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．9．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12 B．40 C．60 D．8010．已知，且，则cosα=（）A． B． C．D．11．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B两点，若，则C的离心率取值范围为（）A．B．C．D．12．已知定义域为R的函数f（x）=a+（a，b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则3a﹣2b=（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知，则a9等于．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则S n=．15．设实数x，y满足，则目标函数z=y﹣lnx的最小值为．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=90°，，，其外接球体积为，则该四面体ABCD的棱AD=．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC边AC上的高h=b，求的值．18．2016年备受瞩目的二十国集团领导人第十一次峰会于9月4～5日在杭州举办，杭州G20筹委会已经招募培训翻译联络员1000人、驾驶员2000人，为测试培训效果，采取分层抽样的方法从翻译联络员、驾驶员中共随机抽取60人，对其做G20峰会主题及相关服务职责进行测试，将其所得分数（分数都在60～100之间）制成频率分布直方图如下图所示，若得分在90分及其以上（含90分）者，则称其为“G20通”．（Ⅰ）能否有90%的把握认为“G20通”与所从事工作（翻译联络员或驾驶员）有关？（Ⅱ）从参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．附参考公式与数据：．19．如图所示，在多面体ABCDE 中，△BCD 是边长为2的正三角形，AE ∥DB ，AE ⊥DE ，2AE=BD ，DE=1，面ABDE ⊥面BCD ，F 是CE 的中点．（Ⅰ）求证：BF ⊥CD ；（Ⅱ）求二面角C ﹣BF ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为F，F2，以椭圆短轴为直径的圆与直线相切．1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点F1、斜率为k1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过点F2、斜率为k2的直线l2与椭圆E交于C，D两点，且直线l1，l2相交于点P，若直线OA，OB，OC，OD的斜率k OA，k OB，k OC，k OD满足k OA+k OB=k OC+k OD，求证：动点P在定椭圆上，并求出此椭圆方程．21．已知函数，实数a＞0．（Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，已知圆A的参数方程为（其中θ为参数），圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）分别写出圆A与圆B的直角坐标方程；（Ⅱ）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求其公共弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；（Ⅱ）当﹣9≤x≤4时，不等式f（x）＜a成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|2x＞1}，B={x|log2x＜0}，则∁A B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】1F：补集及其运算．【分析】根据不等式的解法求出集合A，B的等价条件，结合补集的定义进行求解即可．【解答】解：A={x|2x＞1}={x|x＞0}，B={x|log2x＜0}={x|0＜x＜1}，则∁A B={x|x≥1}，故选：D2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数==1+i，∴复数对应的点的坐标是（1，1）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a11=S13=13，则a9=（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a11=S13=13，∴a1+10d=13a1+d=13，解得a1=﹣17，d=3．则a9=﹣17+8×3=7．故选：C．4．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角（）A． B． C．D．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据平面向量的数量积公式与夹角公式，求出cosθ与θ的值．【解答】解：设向量与的夹角为θ，θ∈[0，π]由•（+）=3可得•+=3，代入数据可得2×1×cosθ+22=3，解得cosθ=﹣，∴θ=．故选：C ．5．已知双曲线C ：的焦点到渐近线的距离为，则C 的渐近线方程为（ ）A ．B ．C ．D ．y=±x【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线C ：的焦点到渐近线的距离为，求出a ，b 的关系式，然后求解双曲线的渐近线方程．【解答】解：双曲线C ：的焦点（c ，0）到渐近线bx +ay=0的距离为，可得：=，可得=，则C 的渐近线方程为：y=．故选：C ．6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，圆锥是底面半径是1，高是2，母线长是，即可求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知这是用轴截面分成两部分的半个圆锥，圆锥是底面半径是1，高是2，母线长是，∴该几何体的表面积是=+2，故选B．7．若a＞0，b＞0，则称为a，b的调和平均数．如图，点C为线段AB上的点，且AC=a，BC=b，点O为线段AB中点，以AB为直径做半圆，过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C 作OD的垂线，垂足为E，则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，那么图中表示a，b的几何平均数与调和平均数的线段，以及由此得到的不等关系分别是（）A．B．C．D．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】利用相似三角形计算图象各线段的长，利用定义得出各线段的意义，利用直角边小于斜边得出大小关系．【解答】解：由Rt△ACD∽△RtDCB得：，即，∴CD=，即线段CD表示a，b的几何平均数；∵OC=AC﹣OA=a﹣=，∵sin∠OCE=sin∠ODC===，∴OE=OC•sin∠OCE=，∴DE=OD﹣OE=﹣=，∴线段DE表示a，b的调和平均数；当a≠b时，由三角形的性质可知DE＜CD，即＜，当a=b时，OD与CD重合，此时E，O，C三点重合，故DE=CD，即，故选B．8．在如图的程序框图中，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出“恭喜中奖！”的概率为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】根据程序框图转化为几何概型进行计算即可．【解答】解：程序框图对应的区域的面积为1，则“恭喜中奖！满足条件为y≤，平面区域的面积S=dx==，则能输出“恭喜中奖！”的概率为，故选：D．9．甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A．12 B．40 C．60 D．80【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分①甲和乙都排在丙的左侧和②甲和乙都排在丙的右侧两种情况讨论，分别求出每种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①、甲和乙都排在丙的左侧，将甲乙安排在丙的左侧，考虑甲乙之间的顺序，有2种情况，排好后有4个空位，在4个空位中选一个安排丁，有4种情况，排好后有5个空位，在5个空位中选一个安排戊，有5种情况，则甲和乙都排在丙的左侧的情况有2×4×5=40种，②、甲和乙都排在丙的右侧，同理有40种不同的排法；故甲和乙都排在丙的同一侧的排法种数为40+40=80种；故选：D．10．已知，且，则cosα=（）A． B． C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】由已知可求范围α+∈（，），利用同角三角函数基本关系式可求cos（α+），由α=α+﹣，利用两角差的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵，∴α+∈（，），∴，可得cos（α+）=﹣，cosα=cos（α+﹣）=cos（α+）cos+sin（α+）sin=（﹣）×+=．故选：A．11．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左焦点为F，直线y=kx（k＞0）与椭圆C交于A，B两点，若，则C的离心率取值范围为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：四边形AFBF2是矩形．由丨BF丨=2ccosθ，丨BF2丨=丨AF丨=2csinθ，根据椭圆的定义丨BF丨+丨BF2丨=2a，即可表示出e=，利用辅助角公式，及正弦函数的性质，即可求得sinθ+cosθ的取值范围，即可求得椭圆的离心率的取值范围．【解答】解：设F2是椭圆的右焦点，由AF⊥BF，∵O点为AB的中点，丨OF丨=丨OF2丨，则四边形AFBF2是平行四边形，∴四边形AFBF2是矩形．如图所示设∠ABF=θ，则丨BF丨=2ccosθ，丨BF2丨=丨AF丨=2csinθ，丨BF丨+丨BF2丨=2a，∴2ccosθ+2csinθ=2a，∴e=，sinθ+cosθ=sin（θ+），∵θ∈（0，]，∴θ+∈（，]，则sin（θ+）∈（，），∴sin（θ+）∈（1，），∴e∈[，1）．故选B．12．已知定义域为R的函数f（x）=a+（a，b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值之和为6，则3a﹣2b=（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】把已知函数式变形，根据条件可知b=0，然后根据三角函数的辅助角公式求函数的值域，再由最大值与最小值之和为6求得a的值，从而求得3a﹣2b的值．【解答】解：∵函数y=f（x）=a+=a+bx+有最大值和最小值，∴必有b=0，则y=f（x）=a+，即y﹣a=．∴3sinx+（a﹣y）cosx=2y﹣2a，得（tanθ=）．∴sin（x+θ）=，由|sin（x+φ）|=||≤1，可得（y﹣a）2≤3，故有a﹣≤y≤a+．再根据最大值与最小值之和为6，可得2a=6，即a=3，∴3a﹣2b=9﹣0=9，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13．已知，则a9等于﹣20．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】由条件利用（1+x）10=（﹣1﹣x）10=[（﹣2）+（1﹣x）]10，以及二项展开式的通项公式，求得a9的值．【解答】解：∵（1+x）10=（﹣1﹣x）10=[（﹣2）+（1﹣x）]10，，∴a9=•（﹣2）=﹣20，故答案为：﹣20．14．已知数列{a n}的前n项和为S n，且，则S n=3n ﹣n﹣1．【考点】8H：数列递推式．【分析】，可得：=3，a1=1．再利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵，∴=3，a1=1．∴数列{a n+1}是等比数列，公比为3，首项为2．∴a n+1=2×3n﹣1，即a n=2×3n﹣1﹣1，∴S n=﹣n=3n﹣n﹣1．故答案为：3n﹣n﹣1．15．设实数x，y满足，则目标函数z=y﹣lnx的最小值为1﹣ln2．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，作出曲线y=lnx，平移曲线y=lnx，利用直线和曲线相切的等价条件进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=y﹣lnx得y=lnx+z，作出曲线y=lnx，平移曲线y=lnx，由图象知当曲线y=lnx+z与直线x﹣2y=0相切时，z最小，函数的导数y′=，直线x﹣2y=0的斜率k=，由=得x=2，此时y=1，即切点（2，1），则z=1﹣ln2，故答案为：1﹣ln2．16．已知四面体ABCD中，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=90°，，，其外接球体积为，则该四面体ABCD的棱AD=2．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】如图，在△ABC中，由余弦定理得BC=故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，即有O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2．【解答】解：如图，在△ABC中，由余弦定理得BC=，满足AC2=AB2+BC2，∴AB⊥BC∵∠BAD=∠CAD=90°，∴DA⊥面ABC∴BC⊥面DAB，即BC⊥BD．故Rt△DAC，Rt△DBC有公共斜边DC，取DC中点O，则有OD=OC=OA=OB，∴O为球心．由外接球体积为，得球半径R=2，，解得AD=2故答案为：2三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若△ABC边AC上的高h=b，求的值．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）运用正弦定理结合三角形的内角和定理．即可得到A．（Ⅱ）根据△ABC边AC上的高h=b，求出tanA和tanC，带入化简可得答案．【解答】解：（Ⅰ）由．根据正弦定理，可得：，即a﹣bcosC=csinB，得：sinA﹣sinBcosC=sinCsinB．B+C+A=π∴sinA=sin（B+C）∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinBcosC=sinCsinB．可得：sinCcosB=sinCsinB．∵0＜C＜π，sinC≠0．∴cosB=sinB∵0＜B＜π．∴B=．（Ⅱ）由题意，过B点作AC的高h=DB=b．设AD=m，DC=n，n+m=b．则tanA=，tanC=，可得=sinB（）=sinB=．18．2016年备受瞩目的二十国集团领导人第十一次峰会于9月4～5日在杭州举办，杭州G20筹委会已经招募培训翻译联络员1000人、驾驶员2000人，为测试培训效果，采取分层抽样的方法从翻译联络员、驾驶员中共随机抽取60人，对其做G20峰会主题及相关服务职责进行测试，将其所得分数（分数都在60～100之间）制成频率分布直方图如下图所示，若得分在90分及其以上（含90分）者，则称其为“G20通”．（Ⅰ）能否有90%的把握认为“G20通”与所从事工作（翻译联络员或驾驶员）有关？（Ⅱ）从参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．附参考公式与数据：．【考点】CH ：离散型随机变量的期望与方差；BL ：独立性检验． 【分析】（Ⅰ）由已知可得：翻译联络员得分在90分及其以上（含90分）者有0.02×10×1000=200人，得分在90分及其以下者有1000﹣200=800人．驾驶员得分在90分及其以上（含90分）者有0.005×10×2000=100人，得分在90分及其以下者有2000﹣200=1900人．抽取翻译联络员==20人，得分在90分及其以上（含90分）者有4人，得分在90分及其以下者有16人，抽取驾驶员×60=40人，得分在90分及其以上（含90分）者有2人，得分在90分及其以下者有38人．作出列联表：由列联表中的数据，得到k2==3.333，即可得出结论．（Ⅱ）由图可知：参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中共有10人，其中在区间[80，90）的有8人，在区间[90，100]的有2人．随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X=0，1，2．P（X=k）=，即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：翻译联络员得分在90分及其以上（含90分）者有0.02×10×1000=200人，得分在90分及其以下者有1000﹣200=800人．驾驶员得分在90分及其以上（含90分）者有0.005×10×2000=100人，得分在90分及其以下者有2000﹣200=1900人．抽取翻译联络员==20人，得分在90分及其以上（含90分）者有4人，得分在90分及其以下者有16人，抽取驾驶员×60=40人，得分在90分及其以上（含90分）者有2人，得分在90分及其以下者有38人．做出列联表：由列联表中的数据，得到k 2==3.333＞2.706．因此，有90%的把握认为两者有关．（Ⅱ）由图可知：参加测试的成绩在80分以上（含80分）的驾驶员中共有10人，其中在区间[80，90）的有8人，在区间[90，100]的有2人．随机抽取4人，4人中“G20通”的人数为随机变量X=0，1，2． P （X=k ）=，可得P （X=0）=，P （X=1）=，P（X=2）=．EX=0+=．19．如图所示，在多面体ABCDE 中，△BCD 是边长为2的正三角形，AE ∥DB ，AE ⊥DE ，2AE=BD ，DE=1，面ABDE ⊥面BCD ，F 是CE 的中点．（Ⅰ）求证：BF ⊥CD ；（Ⅱ）求二面角C ﹣BF ﹣D 的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取BD中点O，连接OC，OA，由题意可证OC、OD、OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出B，C，D，E，F的坐标，得到的坐标，由，可得，即BF⊥CD；（Ⅱ）分别求出平面BCF与平面BFD的一个法向量，利用两法向量所成角的余弦值可得二面角C﹣BF﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取BD中点O，连接OC，OA，∵△BCD为正三角形，∴OC⊥BD，∵面ABDE⊥面BCD，且面ABDE∩面BCD=BD，∴OC⊥面ABDE，则OC⊥OA，又AE∥DB，AE⊥DE，AE=，∴OA⊥OD．以O为坐标原点，分别以OC、OD、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则B（0，﹣1，0），C（，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1），F（）．，，∵，∴，即BF⊥CD；（Ⅱ）解：，，．设平面BCF的一个法向量为，由，得，取x1=1，得．设平面BFD的一个法向量，由，得，取x2=1，得．∴cos＜＞==．∴二面角C﹣BF﹣D的余弦值为．20．已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为F，F2，以椭圆短轴为直径的圆与直线相切．1（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过点F1、斜率为k1的直线l1与椭圆E交于A，B两点，过点F2、斜率为k2的直线l2与椭圆E交于C，D两点，且直线l1，l2相交于点P，若直线OA，OB，OC，OD的斜率k OA，k OB，k OC，k OD满足k OA+k OB=k OC+k OD，求证：动点P在定椭圆上，并求出此椭圆方程．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，即可求得b，利用椭圆的离心率及a2=c2+b2，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线l1或l2斜率不存在时，求得P点坐标，当直线l1、l2斜率存在时，可得l1的方程为y=k1（x+1），l2的方程为y=k2（x﹣1）．与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出k1与k2的关系，利用直线的斜率，即可求得椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）由以椭圆短轴为直径的圆与直线相切，则圆心O到直线的距离d=b，∴b=d==由e==，则a=2c，a2=c2+b2=c2+3，解得：a=2，c=1，∴椭圆E的方程；…（Ⅱ）当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）．当直线l1、l2斜率存在时，l1的方程为y=k1（x+1），l2的方程为y=k2（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），联立，得到（3+4k12）x2+8k12x+4k12﹣12=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=．同理x3+x4=，x3x4=．（*）∵k OA=，k OB=，k OA+k OB=+==，同理可得：k OC+k OD=．由k OA+k OB=k OC+k OD，则=．整理得：k1k2=﹣3．设点P（x，y），则•=﹣3，（x≠±1）整理得：，（x≠±1）由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（﹣1，0）或（1，0）也满足，∴椭圆的标准方程：．…21．已知函数，实数a＞0．（Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3R：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）﹣，f′（x）=．（x ＞﹣1）．即可得出单调区间．（Ⅱ）函数，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．可得f′（x）=．令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）﹣，f′（x）=﹣=．（x＞﹣1）．∴函数f（x）的单增区间为（0，+∞）；单减区间为（﹣1，0）．（Ⅱ）函数，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．f′（x）=﹣=．令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．a≤0时，可得：g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f （x）＜f（0）=0，满足条件．g′（x）=a（1+x）a﹣1+a，令x=0，则g′（0）=2a﹣1．当0＜a时，g′（x）≤0，函数g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．a时，存在x0＞0，使得g′（x0）=0，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x0）上单调递增，g（x）＞g（0）．从而f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不满足条件，舍去．综上可得：a．即a的最大值为：．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标系，已知圆A的参数方程为（其中θ为参数），圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）分别写出圆A与圆B的直角坐标方程；（Ⅱ）判断两圆的位置关系，若两圆相交，求其公共弦长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）圆A的参数方程为（其中θ为参数），利用平方关系可得圆A的普通方程．圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）利用两圆的圆心距离与半径的和差半径即可判断出两圆相交．两个圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，利用弦长公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆A的参数方程为（其中θ为参数），利用平方关系可得圆A：（x﹣1）2+（y+1）2=4．可得圆心A（1，﹣1），半径R=2．圆B的极坐标方程为ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，利用互化公式可得：圆B：x2+y2﹣2y=0，平方可得：x2+（y﹣1）2=1，可得圆心B（0，1），第31页（共32页）半径r=1．（Ⅱ）∵|AB |==，而R ﹣r=1，R +r=3，＜3，∴两圆相交，两个圆的方程相减可得：x ﹣2y +1=0．∴其公共弦长=2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x ﹣3|．（Ⅰ）解不等式f （x ）≥1；（Ⅱ）当﹣9≤x ≤4时，不等式f （x ）＜a 成立，求实数a 的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）通讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；（Ⅱ）通过讨论x 的范围，求出各个区间上的f （x ）的最大值，求出a 的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）∵|2x ﹣1|﹣|x ﹣3|≥1，∴或或， 解得：x ≥或x ≤﹣3，故不等式的解集是：．（Ⅱ）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|x ﹣3|，x ≥3时，f （x ）=x +2，f （x ）的最大值是f （4）=5，第32页（共32页） ≤x ≤3时，f （x ）=3x ﹣4，f （x ）的最大值是f （3）=5，﹣9≤x ≤时，f （x ）=﹣x ﹣2，f （x ）的最大值是f （﹣9）=7， 当﹣9≤x ≤4时，不等式f （x ）＜a 成立，则a ＞7，即a ∈（7，+∞）．。