“现代数字信号处理”学习重点及复习题1．现代信号处理的范畴主要包含哪几个方面？它们与经典信号处理有何联系与区别？2．严平稳和弱平稳随机信号在概念上有何区别？严平稳随机信号是否一定是弱平稳的？试以严平稳和弱平稳白噪声（其均值与方差相同）为例，说明严平稳和弱平稳随机信号的区别。
3．随机信号的均值、均方值和方差等数值特征与随机变量的这些数值特征在形式上有何区别？为什么会出现这种区别？而平稳随机信号的这些数值特征在形式上与随机变量的数值特征相同，它们在含义上有何区别？4．自相关函数的直观物理含义是什么？如何理解白噪声自相关函数的特点？一个方差为2σ的平稳白噪声序列，试写出其n 阶自相关函数矩阵和自协方差矩阵。
5．试证明实平稳随机信号自相关函数和互相关函数的以下性质： （1）()(), ()()xx xx xy yx r m r m r m r m =-=-； （2）[]2(0)()xx r E x n =；（3）(0)(), for any integer xx xx r r m m ≥；（4）2lim (), lim ()xx x xy x y m m r m m r m m m →∞→∞==。
6．两个实平稳随机信号的互功率谱是否一定为实函数？7．随机信号的独立性和相关性之间有什么联系与区别？试证明两个相互独立的随机信号必然是不相关的。
8．结合随机过程数字特征的含义以及维纳-辛钦定理，根据你的理解，阐述弱平稳随机信号定义中的两个条件：（1）()()x x x m n m n l m =+=，（2）1122(,)(,)()xx xx xx r n n m r n n m r m +=+=分别体现了平稳随机信号哪些方面的特性。
9．试叙述你对“平稳随机过程各态历经性”的理解。
平稳随机信号的各态历经性对简化其分析过程有什么帮助？10． 平稳随机信号通过LTI 系统后，其功率谱将如何变化？这种功率谱的变化在实际应用中有何意义？11． 设有一LTI 系统，其频率特性未知，试根据LTI 系统输入输出信号互功率谱与输入信号功率谱之间的关系，以白噪声作为输入，设计一个方案，估计该LTI 系统的频率特性。
12． 一个平稳随机信号的时间序列模型为()0.5(1)()x n x n w n =-+其中()w n 为实平稳白噪声序列，其方差21wσ=。
设()y n 为()x n 通过线性系统12()2H z z z --=-之后的输出，求()y n 的功率谱。
13．设某一线性系统的输入信号具有如下时间序列模型()0.7(1)()x n x n w n =-+其中()w n 为实平稳白噪声序列，其方差21wσ=。
已知系统输出信号()y n 与()x n 的互相关函数()xy r m 的z 变换为1()10.7xy S z z=-求该线性系统的传递函数()H z 及()y n 的时间序列模型。
14．设1()x n 和2()x n 为两个不相关的实平稳随机序列，其方差分别为21x σ、22x σ，令12()()()y n x n x n =+，试证明()y n 的方差22212y x x σσσ=+15．一个语音信号()s n ，叠加了来源未知的噪声()v n ，()()()x n s n v n =+。
已知()v n 是与()s n 不相关的零均值高斯白噪声，其方差为2σ。
为了从()x n 中尽可能去除噪声，设计了如图1所示系统，请问该设计方案是否可行？若不(x 图1)可行，请说明原因；若可行，则请说明ˆ()sn 是否为()s n 在MMSE 准则下的最优估计，为什么？16． 参数估计在随机信号分析与处理中有何意义？为什么一般要用估计的方法来获取随机信号的数值特征，而不是根据定义求得？17． 什么是贝叶斯估计？如何理解贝叶斯估计中的代价函数与风险函数？18． 几种不同的估计子：MAP 、ML 、MMSE 有何区别与联系？如何直观理解这些估计子？19． 衡量估计子质量的几个性能指标：无偏性、有效性、一致性分别表征了估计子哪些方面的直观特性？20． 一个各态遍历的平稳高斯信号，试证明其均值和方差的ML 估计子分别为：11ˆN x i i mx N-==∑、1221ˆ()N x ixi x m N σ-==-∑21．已知信号()s n 和噪声()v n 为不相关的实平稳白噪声随机序列，其方差分别为2s σ、2v σ，求估计()s n 的维纳滤波器()h n 。
22．设信号()s n 和噪声()v n 的功率谱分别如图2所示，试分别画出估计()s n 和估计()v n 的维纳滤波器的幅频特性。
并分别画出估计结果ˆ()s n 和ˆ()vn 的功率谱。
j ωj ω23． 什么是维纳滤波问题？你是如何理解维纳滤波的正交原理的？24． 试写出求解因果IIR 维纳滤波器的基本思路与步骤。
对于同一个维纳滤波问题，分别求解出其因果FIR 、非因果IIR 和因果IIR 等三种不同类型的滤波器，通常哪种类型维纳滤波器的误差最小？为什么？25． 一个信号混入了白噪声干扰，欲设计一维纳滤波器来抑制干扰，试问在最优状态下能否将白噪声完全滤除？为什么？ 26．已知信号()s n 和噪声()v n 的时间序列模型分别为11()0.8()0.5(1)s n w n w n =+- 22()()0.6(1)v n w n w n =+-其中1()w n 和2()w n 为不相关的具有各态历经性的实平稳白噪声序列，22121w w σσ==。
量测()()()x n s n v n =+，试设计一个2阶因果FIR 维纳滤波器，用于从()x n 估计()s n ，并求估计量的最小均方误差min CFIR ξ。
27． 某平稳随机信号()s n 可以用一个稳定的AR 模型来进行描述，设其AR模型为1()()H z A z =()s n 的功率谱为20.25()()j ss j P e A e ωω=欲把()s n 白化为方差为1的白噪声，试求该白化滤波器的系统函数（用()A z 表示）。
28． 比较因果FIR 维纳滤波器的维纳-霍夫方程与Yule-Walker 方程的不同特点。
29． 试叙述Kalman 滤波估计的基本思路和Kalman 滤波递推算法的基本步骤。
为什么Kalman 滤波算法还要包含估计误差协方差矩阵的递推步骤？当满足何种条件时，Kalman 滤波估计的稳态结果是一个最优线性估计？30．试分析系统噪声协方差阵k Q 、观测噪声协方差阵k R 和先验估计误差协方差阵1k k P -对Kalman 增益k K 的影响及其所代表的物理含义。
31． 试比较线性自适应滤波与维纳滤波的异同点。
32． 衡量一个自适应算法的性能主要考查那些方面？为什么一般希望自适应算法收敛速度快、计算量小？33． 最陡下降算法和LMS 算法有什么联系与区别，为什么在自适应滤波中不直接采用最陡下降算法而往往采用LMS 算法？34． 试叙述递推最小二乘（RLS ）算法的基本思路与步骤，RLS 算法与最陡下降算法的本质区别是什么？RLS 算法引入这一区别的目的何在？RLS 算法为什么要采用递推的形式来实现？35． 某自适应滤波系统如图3所示，其中自适应滤波器()w n 为4阶FIR 滤波器，()x n 与()v n 为不相关平稳实白噪声序列，2221xv σσ==，，期望输出为()()0.5(1)0.3(2)d n x n x n x n =--+-求自适应系统收敛后[]()?Ew n = min ?ξ= []?E ξ=36． 上题中，若采用最陡下降（LMS ）算法进行自适应学习，此时为了将MSE 性能函数变换到主轴坐标系中，求相应的坐标平移变换（平移量）和旋转变换（正交变换阵），若要确保算法收敛，则自适应学习的步长μ应该满足何种条件？ 37．在最陡下降算法中，自适应学习的步长μ对算法的收敛特性和稳态误差（失调系数）有何影响？若取学习步长0μ<，则会出现什么结果？为什)么？38．某自适应对消系统如图4所示，若主信号（期望信号）()d n 与参考输入信号()x n 为不相关平稳随机序列，则自适应系统收敛后，FIR 滤波器系数的均值[]()?E w n =为什么？39． 试叙述自适应建模、自适应逆滤波、自适应对消、自适应信号分离与预测等自适应系统的基本工作原理。
40． 为什么平稳随机信号的频域特性采用功率谱来描述，而不采用幅度/相位谱或能量谱？为什么PSE 中要求随机信号是平稳而且各态遍历的？41． BT 法和周期图法谱估计的原理有何区别？经典谱估计是非一致估计，这个缺点的主要表现是什么？各种改进的经典谱估计方法是如何降低估计方差的，它们在降低估计方差的同时付出了何种代价？42． 比较经典功率谱估计方法和现代功率谱估计方法的区别，制约经典谱估计方法提高频率分辨率的关键是什么？为什么现代谱估计方法能提高频率分辨率？（提示：隐含的自相关函数外推）43． 为什么参数模型谱估计方法一般采用AR 模型？试简述AR 谱估计方法的基本步骤。
最大熵谱估计与AR 谱估计有何和联系与区别？ 44．为什么AR 谱估计一般采用递推方式（如Levinson-Durbin 算法和Burg 算法）来实现，而不是去直接求解Yule-Walker 方程？45．对某一信号()x n 采用3阶AR 模型进行信号模型的估计，其估计结果()n 图4为()0.5(1)0.1(2)()x n x n x n w n =---+其中白噪声()w n 的方差估计2ˆ()0.5w n σ=，试求该信号的功率谱估计。
46． 说明傅立叶变换（FT ）、短时傅立叶变换（STFT ）和小波变换的主要区别所在。
47． 什么是测不准原理（不确定原理）？什么是多分辨率分析（MRA ）？在小波变换中测不准原理失效了吗？48． 为什么小波变换能刻画信号的时间信息？小波变换是通过什么来刻画信号的时间和频率的变化的？49． 为什么实用的母小波函数总要求其正负面积是相等的？即()0t dt ψ∞-∞=⎰。
50． 为什么线性变换往往希望基函数是正交函数集甚至是规范正交函数集？由离散小波基构成的小波框架满足何种条件时，该离散小波基是一组规范正交基？ 51．设母小波函数为()t ψ，由它张成的离散小波基2,()2(2)j j j k t t k ψψ--=-规范正交，现有一信号()x t 具有如下形式()2(3)0.5(0.51)(0.1251)x t t t t ψψψ=--++-试求()x t 以,()j kt ψ为基函数的离散小波变换。
结合这个例子，谈谈你对正交线性变换的理解。