第一章 波浪理论1.1 建立简单波浪理论时，一般作了哪些假设?【答】：（1）流体是均质和不可压缩的，密度ρ为一常数；（2）流体是无粘性的理想流体； （3）自由水面的压力均匀且为常数； （4）水流运动是无旋的； （5）海底水平且不透水；（6）作用于流体上的质量力仅为重力，表面张力和柯氏力可忽略不计； （7）波浪属于平面运动，即在xz 水平面内运动。

1.2 试写出波浪运动基本方程和定解条件，并说明其意义。

【答】：波浪运动基本方程是Laplace 方程：02222=∂∂+∂∂z x φφ或写作：02=∇φ。

该方程属二元二阶偏微分方程，它有无穷多解。

为了求得定解，需有包括初始条件和边界条件的定解条件：初始条件：因波浪的自由波动是一种有规则的周期性运动，初始条件可不考虑。

边界条件：（1）在海底表面，水质点垂直速度应为0，即=-=h z w或写为在z=-h 处， 0=∂∂zφ（2）在波面z=η处，应满足两个边界条件，一是动力边界条件、二是运动边界条件A 、动力边界条件02122=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==ηφφφηηg z x tz z由于含有对流惯性项⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂2221z x φφ，所以该边界条件是非线性的。

B 、运动边界条件，在z=η处0=∂∂-∂∂∂∂+∂∂zx x t φφηη。

该边界条件也是非线性的。

（3）波场上下两端面边界条件 ),(),,(z ct x t z x -=φφ 其中c 为波速，x -ct 表示波浪沿x 正向推进。

1.3 试写出微幅波理论的基本方程和定解条件，并说明其意义及求解方法。

【答】：微幅波理论的基本方程为：02=∇φ定解条件：z=-h 处，0=∂∂zφz=0处， 022=∂∂+∂∂z g t φφz=0处，⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=t g φη1求解方法：分离变量法 1.4 线性波的势函数为()[]()()t kx kh z h k gH σσφ-⋅+⋅=sin cosh cosh 2，证明上式也可写成()[]()()t kx kh z h k Hc σφ-⋅+⋅=sin sinh cosh 2 【证明】： 由弥散方程：()kh gk tanh 2⋅=σ以及波动角频率σ和k 波数定义: Tπσ2=, Lk π2=可得：()kh Lg T tanh 22ππσ⋅=⋅， 即 ()()kh kh L T g cosh sinh ⋅⋅=σ 由波速c 的定义：TLc =故：()()c kh g kh sinh cosh ⋅=⋅σ 将上式代入波势函数： ()[]()()t kx kh z h k gH σσφ-⋅+⋅=sin cosh cosh 2 得： ()[]()()t kx kh z h k Hc σφ-⋅+⋅=sin sinh cosh 2 即证。

1.5 由线性波势函数证明水质点的轨迹速度()[]()()t kx kh z h k T H u σπ-⋅+⋅=cos sinh cosh ,并绘出相位()t kx σ-=0~2π时的自由表面处的质点轨迹速度变化曲线以及 相位=0,2π,32π和2π时质点的轨迹速度沿水深的分布. 解：(1)证明: 已知势函数方程()[]()()t kx kh z h k Hc σφ-⋅+⋅=sin sinh cosh 2 则()[]()()t kx kh z h k Hck x u σφ-⋅+⋅=∂∂=cos sinh cosh 2 其中: T L c =,Lk π2= 同理: ()[]()()t kx kh z h k Hck z w σφ-⋅+⋅=∂∂=sin sinh sinh 2(2) 自由表面时z=0，则()t kx kh T Hu σπ-⋅=cos )tanh(,()t kx THw σπ-⋅=sin质点轨迹速度变化曲线见图.1kx-t图.1相位不同时速度由水深变化关系见下，其中水深z 由-h 到0。

当()t kx σ-=0时)](cosh[)sinh(h z k kh T Hu +=π,0=w 曲线见图.2当()t kx σ-=时0=u ,)](sinh[)sinh(h z k kh T Hw +=π曲线见图.3当()t kx σ-=时)](cosh[)sinh(h z k kh T Hu +-=π,0=w 曲线见图.4)tanh(kh T Hπkx-tu TH πkx-tw当()t kx σ-=3时0=u ,)](sinh[)sinh(h z k kh T Hw +-=π曲线见图.5当()t kx σ-=时)](cosh[)sinh(h z k kh T Hu +=π,0=w 同图.21.6 试根据弥散方程，编制一已知周期函数T 和水深h 计算波长，波速和波数的程序，并计算T=9s ，h 分别为25m 和15m 处的波长和波速。

解：该程序用c++语言编写如下：#include "iostream.h" #include <math.h>const double pi=3.1415926,g=9.8; void main( ){ double x 0,x,L,k,c,h; int i,T;cout<<"please input T and h\n"<<"T="; cin>>T; cout<<"h="; cin>>h; x 0=1.0e-8;x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x 0)); for(i=1;(fabs(x-x 0)>1.0e-8);i++) { x 0=x;x=(4*pi*pi*h)/(g*T*T*tanh(x 0)); L=2*pi*h/x; k=2*pi/L;)tanh(kh T H π)sinh(kh T H π 图.2zuTH π-h .3z w-h 0)sinh(kh T Hπ-图.4zu -h 0图.5z wc=L/T;cout<<"L="<<L<<"\n"<<"k="<<k<<"\n"<<"c="<<c<<endl; 运算可得 当T=9s,h=25m 时,L=111.941m,c=12.4379m/s当T=9s,h=15m 时,L=95.5096m,c=10.6122m/s1.7 证明只有水深无限深时，水质点运动轨迹才是圆。

【证明】：微幅波波浪水质点运动轨迹方程为：1)()(220220=-+-bz z a x x 式中))sinh()](cosh[2(0kh h z k H a +=为水平长半轴，))sinh()](sinh[2(0kh h z k H b +=b 为垂直短半轴。

在深水的情况下，即h →无穷大，有：())()()(00002121)](sinh[h z k h z k h z k e e e h z k ++-+=-=+， 那么，水平长半轴000222)sinh()](cosh[2)(0kz khkh kz kh h z k e H e e e H e e H kh h z k H a ===+=+ 垂直短半轴000222)sinh()](sinh[2)(0kz kh kh kz kh h z k e H e e e H e e H kh h z k H b ===+=+ 所以当水深无限深时，长半轴a 与短半轴b 相等，水质点运动轨迹是圆。

问题得证。

1.8 证明线性波单位水柱体内的平均势能和平均动能为2161gh ρ 【证明】： 单位水柱体内的平均势能dxdz gz L L E l p⎰⎰=001ηρdx g L l⎰⋅=0221ηρ 其中: ()t kx hση-=cos 2单位水柱体内的平均动能()dxdz w u L L E l h k 220021+=⎰⎰-ρ其中: ()[]()()t kx kh z h k T H u σπ-⋅+⋅=cos sinh cosh1.9 在水深为20m 处,波高H=1m,周期T=5s,用线性波理论计算深度z=-2m,-5m,-10m处水质点轨迹直径.【解法1】：由弥散方程：()kh gk tanh 2⋅=σ T πσ2=, Lk π2= 利用题1.6可得L=38.8m k=0.162m -1h/L=20/38.8=0.515>0.5 为深水波 故此时质点运动轨迹为一直径D 为0kz He 的圆不同0z 值下的轨迹直径可见下表：【解法2】：将弥散方程()kh gk tanh 2⋅=σ 可写成()0tanh 2=⋅-kh gk σ编制Excel 计算表格如下，通过变化波长L 的值，满足方程=0的L 值即为所求波长。

经试算得L=38.91m ，那么，h/L=20/38.91=0.514>0.5 为深水波 后续计算与解法1相同。

1.10 在水深为10m 处，波高H=1m,周期T=6s,用线性波理论计算深度z=-2m 、-5m 、-10m 处水质点轨迹直径。

解：将弥散方程()kh gk tanh 2⋅=σ 可写成()0tanh 2=⋅-kh gk σ编制Excel 计算表格如下，通过变化波长L 的值，满足方程=0的L 值即为所求波长。

经试算得L=48.4m ，那么，h/L=10/48.4=0.207<0.5 为浅水波 那么，水平长半轴)sinh()](cosh[20kh h z k H a +=，垂直短半轴)sinh()](sinh[20kh h z k H b +=b 。

以z=-2m为例，分别计算：()()()589.1212121)](cosh[0384.10384.1)102(1298.0)102(1298.0)()(000=+=+=+=+-+--+-+-+e e e e e e h z k h z k h z k所以z=-2m 时的水平向的长轴2a=1.287m ；垂直向的短轴2b=1.372m 。

不同0z 值下的轨迹直径可见下表：1.11在某水深处的海底设置压力式波高仪,测得周期T=5s,最大压力p max =85250N/m 2(包括静水压力,但不包括大气压力),最小压力p min =76250N/ m 2,问当地水深波高值. 解：分析压力公式p z ()[]()()t kx kh h z k H g gz σρρ-⋅+⋅+-=cos cosh cosh 2 ()t kx σ-cos ＝0时压力最小,即:p min ρgz -=＝76250N/m 2 (1)()t kx σ-cos ＝1时压力最大,即:p max ()[]()kh h z k H g gz cosh cosh 2+⋅+-=ρρ＝85250 N/m 2 (2)由（1）式可得z=－7.8m 故h=－z=7.8m由弥散方程：()kh gk tanh 2⋅=σ Tπσ2=, Lk π2= T=5s,h=7.8m利用题1.6可得L=36.6m kh=0.181*7.8=1.412代入（2）式可得 H=4.0m.1.12 若波浪由深水正向传到岸边，深水波高H 0=2m,周期T=10s ，问传到1km 长的海岸上的波浪能量（以功率计）有多少？设波浪在传播中不损失能量。