附录I 截面的几何性质 习题解[习题I-1] 试求图示各截面的阴影线面积对x 轴的静积。
（a ）解：)(24000)1020()2040(3mm y A S c x =+⨯⨯=⋅=（b ）解：)(42250265)6520(3mm y A S c x =⨯⨯=⋅= （c ）解：)(280000)10150()20100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=（d ）解：)(520000)20150()40100(3mm y A S c x =-⨯⨯=⋅=[习题I-2] 试积分方法求图示半圆形截面对x 轴的静矩，并确定其形心的坐标。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的静矩为： θθθθθdxd x x dx xd y dx xd y dA dS x ⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=sin sin )(2半圆对x 轴的静矩为：32)]0cos (cos [3]cos []3[sin 33003002r r x d dx x S r rx =--⋅=-⋅=⋅=⎰⎰πθθθππ因为c x y A S ⋅=，所以c y r r ⋅⋅=232132π π34ry c = [习题I-3] 试确定图示各图形的形心位置。
（a ）解：习题I-3(a): 求门形截面的形心位置矩形 Li BiAiY ci AiYciYc离顶边上 400 28000 160 1280000左 150 2300075 225000右15020 300075 225000140001730000Ai=Li*BiYc=∑AiYci/∑Ai(b) 解： 习题I-3(b): 求L 形截面的形心位置矩形 L i B iAi Y ci AiYc i Y cX ci AiX ci X c下16010 160580008128000左910 9005549500 5450025057502313250053Ai=Li*Bi Yc=∑AiYci/∑Ai Xc=∑AiXci/∑Ai(c)解：习题I-3(c): 求槽形与L 形组合截面的形心位置型钢号 Ai (cm2)Yc i(cm)AiYci (cm3) Y c(cm)Xc i(cm)AiXci (cm3) X c(cm)槽钢20 10 等边角钢80*10Yc=∑AiYci/∑AiXc=∑AiXci/∑Ai[习题I-4] 试求图示四分之一圆形截面对于x 轴和y 轴的惯性矩x I 、y I 和惯性积xy I 。
解：用两条半径线和两个同心圆截出一微分面积如图所示。
dx xd dA ⋅=)(θ；微分面积的纵坐标：θsin x y =；微分面积对x 轴的惯性矩为： θθθθθdxd x dx xd x dx xd y dA y dI x ⋅=⋅⋅=⋅==232222sin sin )(四分之一圆对x 轴的惯性矩为： ⎰⎰⎰-⋅==2/0042/02322cos 1]4[sin ππθθθθd x d dx x I r rx)]2(2cos 21[2142/02/04θθθππd d r ⎰⎰-⋅=}]2[sin 212{82/04πθπ-=r 164r ⋅=π由圆的对称性可知，四分之一圆对y 轴的惯性矩为：164r I I x y ⋅==π微分面积对x 轴、y 轴的惯性积为：xydA dI xy =8)42(21]42[21)(21444042222022r r r x x r dx x r x ydx xdx I r rx r rxy =-=-=-==⎰⎰⎰- [习题I-5] 图示直径为mm d 200=的圆形截面，在其上、下对称地切去两个高为mm 20=δ的弓形，试用积分法求余下阴影部分对其对称轴x 的惯性矩。
解：圆的方程为：222r y x =+如图，作两条平行x 轴的、相距为dy 线段，截圆构成微分面积，微分面积为：dy y r dA 222-=切去δ2之后，剩下部分对x 轴的惯性矩为：dy y r y I r r x 22sin sin 22-=⎰-ααααsin sin 42222arcsin 8)2(82r r r y r y r r y y -⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=)4sin 41(24αα-=r)4sin 4(84αα-=r 2221100)20100(=-+x360021=x )(601mm x =346020100tan =-=α )(927.013.5334arctan 0rad ===α)(10963.3)52.212sin 927.04(81004704mm I x ⨯=-⨯=[习题I-6] 试求图示正方形对其对角线的惯性矩。
解：正方形四条边的直线方程如图所示（设水平坐标轴为z ，竖坐标轴为y ）。
dy y dz dy y dz dA y I a a z a z a z az a Az ⎰⎰⎰⎰⎰+--+---+==2202222222222222][22202202220222dy y dz dy y dz a a z a z a ⎰⎰⎰⎰+-+-+⋅=[][]][322202203222203⎰⎰+--++⋅=a a z aa z dz y dz y])22()22()22()22([3222030223⎰⎰+-+--++⋅=-a a a z d a z a z d a zaaazaz2242244)22(324)22(32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⋅=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+16163244aa124a=故正方形对其的对角线的惯性矩为：124aIz=。
[习题I-7]试分别求图示环形和箱形截面对其对称轴x的惯性矩。
(a)解：)(21177368])175150(1[17514.3641)1(64144424mmDIx=-⨯⨯=-=απ(b))(9044999915090121210150121433mmIx=⨯⨯-⨯⨯=[习题I-8] 试求图示三角形截面对通过顶点A并平行于底边BC的轴的惯性矩。
解：已知三角形截面对以BC边为轴的惯性矩是，利用平行轴定理，可求得截面对形心轴的惯性矩所以再次应用平行轴定理，得[习题I-9]试求图示的半圆形截面对于轴的惯性矩，其中轴与半圆形的底边平行，相距1 m。
解：已知半圆形截面对其底边的惯性矩是，用平行轴定理得截面对形心轴的惯性矩再用平行轴定理，得截面对轴的惯性矩[习题I-10] 试求图示组合截面对于形心轴x的惯性矩。
解：由于三圆直径相等，并两两相切。
它们的圆心构成一个边长为 的等边三角形。
该等边三角形的形心就是组合截面的形心，因此下面两个圆的圆心，到形心轴 的距离是上面一个圆的圆心到 轴的距离是d 632。
利用平行轴定理，得组合截面对 轴的惯性矩如下：[习题I-11] 试求图示各组合截面对其对称轴 的惯性矩。
解：（a ）22a 号工字钢对其对称轴的惯性矩是 。
利用平行轴定理得组合截面对轴 的惯性矩 )(657600002)1012011510120121(104.34237mm I z =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯= （b ）等边角钢 的截面积是，其形心距外边缘的距离是 mm ，求得组合截面对轴 的惯性矩如下：习题I-11（b ）图图形 b h Ixc a A Ix中间矩形16000 0 6000上矩形250120833 30525003下矩形250120833 30525003左上L形17951019265右上L形17951019265左下L形17951019265右下L形17951019265AaIIxcx2+=45[习题I-12]试求习题I-3a图所示截面对其水平形心轴的惯性矩。
关于形心位置，可利用该题的结果。
解：形心轴位置及几何尺寸如图所示。
惯性矩计算如下：[习题I-12]试求图示各截面对其形心轴x的惯性矩。
习题I-13(a)图形bihiAi YciAiYci YcaiIxc Ix(mm4)上矩形100010010000065022533下矩形30060018000030012500 00全图2800000 425习题I-13(c)图形bihir AiYciAiYciYcIxc(mm4)aiIx(mm4)矩形21401150246100057500 83331598275半圆790-980333335-7 791399习题I-13( b)图形bihiAiYciAiYciYcaiIxc Ix(mm4)上图(3)25150375027510312501487031250中图(2)2001503000012537500002下图(1)10055000251250001021041667全图387504906250127全图148066733734半圆：π3/4r y c =半圆：ππ9/88/44r r I xc-=习题I-13(d)图形b ih iA iY ciAiY ciY caiIxciIx(mm 4)从下往上22016352082816037475093318014 25202357960359 4116016674107843673957728992201430807112189880329 50307744594005289361334127034523909912734138214[习题I-14] 在直径a D 8=圆截面中，开了一个a a 42⨯的矩形孔，如图所示。
试求截面对其水平形心轴和竖直轴形心的惯性矩x I 和y I 。
解：先求形心主轴 的位置截面图形对形心轴的静矩（面积矩）等于零：（y 轴向下为正）（组合图形对过圆心轴x1的惯性矩）（组合图形对形心轴x 的惯性矩）习题I-14b (a) h (a) r (a) Ai (a2) Yc i(a) A iYci Y c(a)I xca iIx (a4)矩形4 2 1 -8 圆 4 0 0-8[习题I-15] 正方形截面中开了一个直径为mm d 100=的半圆形孔，如图所示。
试确定截面的形心位置，并计算对水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩。
解：习题I-15图形b ihir AiY ciAiYciYcIxci a iIx 正方形20020040000 100 40000003 21 半圆5-3927 79 -309365 685977 24 2860346全图3607336906351025 π34100r y c -= ππ98844r r I xc -⋅=A a I I xc x 2+=形心位置：X （0，102）。
对水平形心轴的惯性矩：4130686455mm I x =。
对竖直形心轴的惯性矩：)(13087896685014159.31220081244444mm r a I y =⨯-=⋅-=π习题I-15图形 a r Iy （mm 4） 正方形200半圆50 2454367全图6 81244r a I y ⋅-=π[习题I-16] 图示由两个a 20号槽钢组成的组合截面，若欲使截面对两对称轴的惯性矩x I 和y I 相等，则两槽钢的间距a 应为多少解：20a 号槽钢截面对其自身的形心轴、 的惯性矩是，；横截面积为；槽钢背到其形心轴的距离是。