13
如果系统在 t=τ时刻受到冲量为 I0 的任意脉冲力作用，则系 统暂态响应可用脉冲响应函数表示为 ： x(t ) I 0 h(t τ ), tτ n x0 x 0t x(t ) e ( x0 cos d t 0 sin d t ) 14
d
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傅立叶级数展开：
2 a 0 T 2 a n T 2 b n T

T
F ( t ) dt

T
a F (t ) 0 (a n cos n1t bn sin n1t ) 2 n 1 a 0 cn sin( n1t n ) 2 n 1
对于脉冲激励情形，系统只有暂态响应而不存在稳态响应 单位脉冲力可利用狄拉克（Dirac）分布函数δ(t) 表示
系统运动方程 ： 则有： 其中： n
cx kx F (t ) m x
x 4 F0 k
1
n 1,3,5


n sin(n1t n )
2n n tan 1 1 n 22
1
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F (t ) bn sin n1t
n 1

bn
2 T F (t ) sin n1tdt T
F (t )
F0
T 4
F (t ) bn sin n1t
n 1

bn
2 T F (t ) sin n1tdt T
0 t t0 t t0
Q0
0
F (t ) t0
t
Q0 , F (t ) 0,
求： 系统响应
0 t t0 t t0
Q0 0
F (t ) t0
t
（1） 0 t t0 时 t Q 1 t x(t ) F ( )sin n (t ) d 0 0 sin n (t )d mn mn 0
若阻尼为零，则：
1 md

t 0
F ( )e n (t ) sin d (t ) d
由线性系统的叠加原理，系统对任意激振力的响应应等于系统 在时间区间 0 t 内各个脉冲响应的总和 t 1 t F ( )en (t ) sin d (t )d 得： x(t ) F ( )h(t )d 0 md 0 1 n ( t ) sin d (t ) 杜哈梅(Duhamel)积分15 h(t τ ) e md
12
2
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(t )dt 动量定理： mdx
两边在区间 0 t 0 - 内对时间积分：

0 0
dt (t )dt m x
0
0
( 0 ) mx (0 ) 1 mx
(0 ) x
1 m
在单位脉冲力的作用下，系统的速度发生了突变，但在这一瞬 间，位移则来不及有改变，即有：x(0+) = x(0-) 又当 t > 0+ 时，脉冲力作用已经结束，所以 t > 0+ 时，有：
周期激励通过傅氏变换被表示成了一系列频率为基频整数倍的 简谐激励的叠加，这种对系统响应的分析被成为谐波分析法
k
3m 4
n
1 (1 n 2 2 ) 2 (2 n) 2
n tan 1
2n 1 n 1 n22
n
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例： 单自由度质量－弹簧系统受到周期方波激励

且



(t )dt 1

t
(t ) 的图象用位于时刻τ、长度为 1 的有向线段表示
9 10
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δ函数： (t )
0
(t ) (t )

1


(t )dt 1
(t )
1 nt e sin d t md 1 sin nt 无阻尼系统： x(t ) h(t ) mn
h(t τ )
mx cx kx 0 1 x(0 ) 0, x (0 ) m 解为： x(t ) h(t )
n 2,4,6
区间 [0,
T ]内 2 T F (t ) 关于 为对称 4
bn 0
当 n 取奇数时
T /2 T
2 T 8 F (t ) sin n1tdt T 0 T
T 4 0
sin n1t 关于 而n取偶数时，
T 区间 [ , T ] 内 2 3T F (t ) 关于 为对称 4
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任意周期激励
前面讨论的强迫振动，都假设了系统受到激励为简谐激励，但实 际工程问题中遇到的大多是周期激励而很少为简谐激励 假定粘性阻尼系统受到的周期激振力：
F (t ) F (t T )
T 为周期
第九讲 任意周期激励的响应 非周期激励的响应
记基频：
2 1 T
1δ 函数的性质: Nhomakorabea

f (t ) (t )dt f ( )

(t ) 是一个广义函数
可以看作矩形脉冲、脉冲面积为 1 而脉冲宽度ε趋于零时的极限 即： (t ) lim (t )
0
(t )

特别地，当时刻 τ= 0 时，有 ： f (t ) (t )dt f (0) 实际应用时，通常 f (t) 在 0时才有意义
F (t )
T F, 0t 0 2 F (t ) F , T t T 0 2
解：
激励的周期： T
2
F (t )
F0
0
n
T /2
1 系统固有频率

12
F0 0
n
6
n

T /2
F0
T
t
1 1 n 6
1 1 n 6
激励力的基频 ：1

a0 an cos(n1t n ) bn sin(n1t n ) 2k n 1 k (1 n 2 2 )2 (2 n) 2
a0 2k 代表着平衡位置
当
a0 2
作用于系统上所产生的静变形

a0 cn 1 sin(n1t n n ) 2k n 1 (1 n 2 2 )2 (2 n) 2 k
系统的单位脉冲响应即初始位移为 零，而初始速度为 1/m 的自由振动 记为 h(t)
若单位脉冲力不是作用在时刻 t = 0，而是作用在 t =τ时刻：
1 n ( t ) sin d (t ) e md
(0 ) 越小 质量越大，x (0 ) 越大 质量越小，x
mx cx kx 0 1 x(0 ) 0, x (0 ) m
因此
bn 0
n 2,4,6
7

4 F0

1 1 (sin 1t sin 31t sin 51t ) 3 5
8
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F (t )
4 F0

1 1 (sin 1t sin 31t sin 51t ) 3 5
非周期激励的响应
0
反对称
F0
t
bn

F0 sin n1tdt
4 F0 n
n 1,3,5
于是，周期性激励 F(t) 可写为：
3T 关于 4 反对称
sin n1t 而n取偶数时，
F (t ) bn sin n1t
n 1

4 F0

n 1, 3, 5


1 sin n1t n
F ( t ) cos n 1 tdt F ( t ) sin n 1 tdt
T
记： 2 2 cn an bn
n tan 1
an bn
2

为任一时刻
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F (t )
a a0 (a n cos n1t bn sin n1t ) 0 cn sin( n1t n ) 2 n 1 2 n 1
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当处于零初始条件的系统受到任意激振力时， 可以将激振力 F(t) 看作一系列脉冲力的叠加 对于时刻 t =τ的脉冲力 其冲量为： F ( ) d
F ( ) d m
F (t )
x(t ) F ( )h(t )d
0
t
1 md

t 0
F ( )e 0 (t ) sin d (t )d
t

0

t
0

因而有：

t 0
f (t ) (t )dt f ( )
1 t 其中： (t ) 量纲：1/秒 其他 0 (t ) 也可以定义为其它形状的面积为 1 的脉冲
11
冲量为 I 0 的脉冲力可借助δ函数表示为： F (t ) I 0 (t ) 当 I0 =1 时，为单位脉冲力

x(t ) ( x0 cos ωnt
0 x 1 t sin ωnt ) F ( )sin ωn (t τ )d ωn mωn 0
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例：无阻尼弹簧－质量系统
在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用