习题课（from 1~7）第四章 信道4-6某个信源由A 、B 、C 和D 4个符号组成。

设每个符号独立出现，其出现概率分别为1/4、1/4、3/16、5/16，经过信道传输后，每个符号正确接收的概率为1021/1024，错为其它符号的条件概率(/)i j P x y 均为1/1024，试求出该信道的容量C 。

解：根据离散信道信道容量的定义，()max[()(|)]p x C H X H X Y =-。

即，以()p x 为变量，取()(|)H X H X Y -的最大值。

4441114441111(|)()(|)()(|)log(|)1102110241()(|)log ()[log 3*log1024](|)102410211024102110241[log 3*log1024]*10.0335/102410211024j j j i j j j i i j j i j j j i j i j H X Y p y H X y p y p x y p x y p y p x y p y p x y bit symbol ==========+=+=∑∑∑∑∑∑ (1) 通过上述计算发现，对题中所给的对称信道，(|)H X Y 是一个常数，与()p x 无关。

因此，最大化()(|)H X H X Y -简化为最大化()H X 。

根据题意，X 有4种可能，因此()2/H X bit symbol ≤，则()max[()(|)]20.0335 1.9665/p x C H X H X Y bit symbol =-=-=(2)知识点：离散信道信道容量的定义。

在离散对称信道下，通过计算可知(|)H X Y 是与输入无关的常数。

这使得信道容量的计算得到简化。

注意：题中的概率值(/)i j P x y ，不是信道转移概率，而是后验概率。

信道转移概率定义为(/)j i P y x ，计算需要严格按照信道容量的定义()max [()(|)]p y C H Y H Y X =-进行，这时需要搜索C 最大时对应的概率值。

另外教材的例题4-2（P80）的解法，该题中默认等概时可以计算出H(X)，然后根据信道转移概率计算等概条件下H(X|Y)，并直接将二者相减得到信道容量。

严格的说，这种做法不对，缺乏必要的分析过程，不符合离散信道信道容量的定义。

下面的做法错误：根据给定的p(x)计算p(yi)，进而计算H(X|Y)4-8设一幅黑白数字像片有400万个像素，每个像素有16个亮度等级。

若用3kHz 带宽的信道传输它，且信号噪声功率比等于20dB ，试问需要传输多长时间？解：该图像的信息量47400*10*4 1.6*10I bit ==， 信道容量为3422log (1/)3*10*log (1100) 1.9975*10/t C B S N b s =+=+=(3)因此，传输时间74/ 1.6*10/(1.9975*10)801.0t I C s ===知识点：连续信道的信道容量公式220log (1)log (1)S SC B B N n B=+=+➢ 噪声功率0N n B =，单边功率谱密度乘以信道带宽；➢ 当信道容量大于信息传输速率，则存在方法可以实现任意小的差错概率进行传输，而不是没有差错；➢ 带宽与信噪比在一定程度上可以互换，但是存在上限，即带宽无穷宽时，信道容量为01.44S n➢ 香农极限：只要满足0 1.6dB b E N >-，就可以实现可靠传输，信噪比小于-1.6dB 则无法传输任何信息。

➢ 理想通信系统：实现了极限信息传输速率，即达到信道容量，而且错误率为0的通信系统。

第五章 模拟调制技术5-3根据图P5-1所示的调制信号波形，试画出DSB 及AM 信号的波形图，并比较它们分别通过包络检解 设载波c （1）DSB 信号()()sin DSB c s t m t t ω=的波形如下图（a ）所示，通过包络后的输出波形如图（b ）所示。

（2）AM 信号0()[()]sin AM c s t A m t t ω=+⋅，其中0max |()|A m t >，波形如下图（c ）所示，通过包络后的输出波形如图（d ）所示。

DSB 信号不能直接采用包络检波；而AM 信号在满足0max |()|A m t >的情况下可采用包络检波恢复m(t)。

5-5将调幅波通过残留边带滤波器产生残留边带信号。

若此滤波器的传输函数()H ω如图P5-2所示。

当调制信号为[]()sin100sin6000m t A t t ππ=+时，试确定所得残留边带信号的表达式。

f /kHz图P5-2解 设调幅波0()[()]cos AM c s t m m t t ω=+，其中0max |()|m m t ≥，且()()AM AM s t S ω⇔。

根据残留边带滤波器在c f 处具有互补对称特性，可从()H ω图上可知载频c f =10kHz ，由此得到载波cos20000t π。

因此[][]000()[()]cos 20000cos 20000sin100sin 6000cos 20000cos 20000sin 20100sin19900sin 26000sin140002AM s t m m t tm t A t t tAm t t t t t ππππππππππ=+=++=+-+-[]0()(20000)(20000)[(20100)2(20100)(19900)(19900)(26000)(26000)(14000)(14000)]AM j As m πωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπ=++-++---++-++---++-设残留边带信号为()VSB s t ，且()()VSB VSB s t S ω⇔，则()()()VSB AM S S H ωωω=，由于()AM s ω是一组离散谱，残留边带信号的频谱也是离散谱，以()H ω在上述离散谱对应频点上取值作为加权。

于是10.05()10.059.50.5510()0.59.95()9.959.50.4513()17()0f kHz H f kHz H f kHz H f kHz H fkHz H ωωωωω=±=-=⎧⎪=±=⎪⎪=±=-=⎨⎪=±=⎪⎪=±=⎩时，时，时，时，时，故[]0()(20000)(20000)[0.55(20100)220.55(20100)0.45(19900)0.45(19900)(26000)(26000)]VSB j As m ππωδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπδωπ=++-++---++-++-- 01()cos 20000[0.55sin 201000.45sin19900sin 26000]22VSB As t m t t t t ππππ=+-+知识点：残余边带调制的基本原理，残余边带滤波器在中心频率处互补对称特性。

5-11某线性调制系统的输出信噪比为20dB ，输出噪声功率为10-9W ，由发射机输出端到解调器输入端之间总的传输损耗为100dB ，试求： （１） DSB/SC 时的发射机输出功率； （２） SSB/SC 时的发射机输出功率。

解接收端：ioN根据DSB 相干解调的制度增益，有/2(/)i i o o S N S N =则可以计算得到，/50i i S N =又由于/4o i N N =，根据题中给出的条件910o N -=可以计算94*10i N -= 因此，950200*10i i S N -==根据题目的条件传输损耗为100dB ，则发射机的输出功率是10*102000T i S S W ==（2）对SSB/SC ，调制制度增益为1，即，//i i o o S N S N =/4o i N N =，因此，94*10i N -=，所以有，9100400*10i i S N -== 10*104000T i S S W ==5-15已知某单频调频波的振幅是10V ，瞬时频率643()1010cos 210()f t t Hz π=+⨯试求： （1）此调频波的表达式；（2）此调频波的最大频率偏移、调频指数和频带宽度；（3）若调制信号频率提高到3210Hz ⨯，则调频波的频偏、调频指数和频带宽度如何变化？（4）若峰值频偏加倍，信息信号的幅度怎么变化？解（1）该调频波的瞬时角频率为643()2()210210cos 210(/)t f t t rad s ωππππ==⨯+⨯⨯(4)瞬时相位()t θ为 63()()21010sin 210t t d t t θωττππ-∞==⨯+⨯⎰，因此，调频波的表达式63()cos ()10cos(21010sin210)()FM S t A t t t V θππ==⨯+⨯(5)（2）根据频率偏移的定义43max max |()||10cos210|10f f t t KHz π∆=∆=⨯= 10101000f m f K m f ∆===2()22NBMF m B f f KHz ≈∆+=（3）调制信号频率m f 由310Hz 提高到3210Hz ⨯时，因调频信号的频率偏移与调制信号频率无关，所以这时调频信号的频率偏移仍然是10f KHz ∆=而这时的调频指数变为 43105210f m f m f ∆===⨯ 调频信号的带宽变为 2()2(102)24m B f f KHz ≈∆+=⨯+=由于m f f ∆≥，所以，虽然调制信号频率m f 增加了1倍，但调频信号的带宽B 变化很小。

（4）峰值频率偏移加倍，则意味着()m t 幅度为原来的2倍知识点：调频波的表达式、最大频率偏移、调频指数和频带宽度5-17设有60路模拟话音信号采用频分复用方式传输。

已知每路话音信号频率围为0~4kHz （已含防护频带），先有12路复用为一个基群，其中第n 路载频1124(1,2,...,12)cn f n n =-=，采用下边带调制；再由5个基群复用（仍采用下边带调制）为一个超群，共60路，占用频率围312~552KHz 。

试求：（1）各基群占用的频率围和带宽（2）超群载频值(需要修改成：超群中各基群所采用的载频值)解 （1）根据SSB 调制的已调信号的频谱围，和第n 路载频1124(1,2,...,12)cn f n n =-=可以计算每一路的话的频带围。

对第1路话，载频为108KHz ，频带围为104-108KHz ； 对第2路话，载频为104 KHz ，频带围为100-104KHz ； 依此类推因此，基群的频率围是60~108KHz ，占用带宽为12*4=48KHz(2)以超群中频率最低的一个基群为例。