1.2.3 同角三角函数的基本关系式 同步练习 1．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B.34
C ．±34
D ．±43
解析：选A.∵α为第二象限角，
∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－(45)2＝－35
， ∴tan α＝sin αcos α＝4
5－35
＝－43. 2．化简1－sin 2160°的结果是( )
A ．cos160°
B ．－cos160°
C ．±cos160°
D ．±|cos160°|
解析：选B.
1－sin 2160°＝cos 2160°＝－cos160°.
3．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α
的值为( ) A ．0 B.34
C ．1 D.54 解析：选B.2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34
. 4．若cos α＝－817
，则sin α＝________，tan α＝________. 解析：∵cos α＝－817
<0， ∴α是第二或第三象限角．
若α是第二象限角，则sin α>0，tan α<0.
∴sin α＝1－cos 2α＝1517，tan α＝sin αcos α＝－158
. 若α是第三象限角，则sin α<0，tan α>0.
∴sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝sin αcos α＝158
. 答案：1517或－1517 －158或158
一、选择题 1．若α是第四象限的角，tan α＝－512
，则sin α等于( ) A.15 B ．－15
C.315 D ．－513
解析：选D.∵tan α＝sin αcos α＝－512
，sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin α＝±513
， 又α为第四象限角，∴sin α＝－513
. 2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α
的值为( ) A ．3 B ．－3
C ．1
D ．－1
解析：选B.∵α为第三象限角，∴sin α<0，cos α<0， ∴cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α
＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3. 3．(2011年济南高一检测)A 为三角形ABC 的一个内角，若sin A ＋cos A ＝1225
，则这个三角形的形状为( )
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
解析：选B.∵sin A ＋cos A ＝1225
， ∴(sin A ＋cos A )2＝(1225)2＝144625
， 即1＋2sin A cos A ＝144625，∴2sin A cos A ＝－481625
<0， ∴sin A >0，cos A <0，
∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形．
4．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )
A ．－43 B.54
C ．－34 D.45
解析：选D.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ
＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ
＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1
＝4＋2－25＝45
. 5．(tan x ＋cot x )cos 2x ＝( )
A ．tan x
B ．sin x
C ．cos x
D ．cot x 解析：选
D.(tan x ＋cot x )·cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos x sin x )·cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x sin x ·cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝cot x . 6．使 1－cos α1＋cos α
＝cos α－1sin α成立的α的范围是( ) A ．{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }
B ．{x |2k π－π≤α≤2k π，k ∈Z }
C ．{x |2k π＋π＜α＜2k π＋3π2
，k ∈Z } D ．只能是第三或第四象限的角
解析：选A . 1－cos α1＋cos α＝ (1－cos α)21－cos 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α
， 即sin α＜0，故{x |2k π－π＜α＜2k π，k ∈Z }．
二、填空题
7．计算1－2sin40°·cos40°sin40°－1－sin 240°
＝________. 解析：原式＝(sin40°－cos40°)2
sin40°－cos 240°＝cos40°－sin40°sin40°－cos40°
＝－1. 答案：－1
8．已知tan α＝－3，则1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α
＝________. 解析：
1－sin αcos α2sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α－sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α－tan α＋12tan α＋1＝(－3)2－(－3)＋12×(－3)＋1＝－135
. 答案：－135
9．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值为________． 答案：0
三、解答题
10．求证：sin θ(1＋tan θ)＋cos θ·(1＋1tan θ)＝1sin θ＋1cos θ
. 证明：左边＝sin θ(1＋sin θcos θ)＋cos θ·(1＋cos θsin θ
) ＝sin θ＋sin 2θcos θ＋cos θ＋cos 2θsin θ
＝(sin θ＋cos 2θsin θ)＋(sin 2θcos θ
＋cos θ) ＝sin 2θ＋cos 2θsin θ＋sin 2θ＋cos 2θcos θ
＝1sin θ＋1cos θ
＝右边， ∴原式成立．
11．在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝
22，AC ＝2，AB ＝3，求tan A 的值． 解：∵sin A ＋cos A ＝22，① ∴(sin A ＋cos A )2＝12，即1＋2sin A cos A ＝12
， ∴2sin A cos A ＝－12
. ∵0°<A <180°，∴sin A >0，cos A <0.
∴sin A －cos A >0.
∵(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝32
， ∴sin A －cos A ＝62.② ①＋②，得sin A ＝2＋64
. ①－②，得cos A ＝2－64
. ∴tan A ＝sin A cos A ＝2＋64×42－6
＝－2－ 3. 12．是否存在一个实数k ，使方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根是一个直角三角形两个锐角的正弦值．
解：设这两个锐角为A ，B ，
∵A ＋B ＝90°，∴sin B ＝cos A ，
所以sin A ，cos A 为8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个根．
所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin A ＋cos A ＝－3k 4sin A cos A ＝2k ＋18 ①②
②代入①2，得9k 2－8k －20＝0，解得k 1＝2，k 2＝－109
，当k ＝2时，原方程变为8x 2＋12x ＋5＝0，Δ<0方程无解；将k ＝－109代入②，得sin A cos A ＝－1172
<0， 所以A 是钝角，与已知直角三角形矛盾．所以不存在满足已知条件的k .。