了解幂级数在近似计算上的简单应用。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、函数项级数的概念：设定义在区间 上的函数列 ： 、 、……、 、……，各项用加号连接的形式： ，称为函数项无穷级数，简称函数项级数.
对于 上的每一个值 ，函数项级数 就是常数项级数.若 收敛，则称 是函数项级数 的收敛点，收敛点的全体组成的数集称为 的收敛域，记为 ；若 发散，则称 是函数项级数 的发散点，发散点的全体组成的数集称为 的发散域.
例3证明正项级数 当 时是发散的.
例4判定下列级数的收敛性：
(1) ;(2) .
例5证明级数 是发散的.
例6判定级数 的敛散性.
例7判别下列级数的收敛性
(1) ；(2) .
例8判别下列级数的收敛性：
(1) ；(2) ；(3) ;
（4） ；（5） ；（6） .
例9判别级数 的敛散性.
例10判别级ห้องสมุดไป่ตู้ 的收敛性.
定理6(莱布尼兹定理)如果交错级数 满足条件：
（1） ；（2） ，
则交错级数收敛，且收敛和 .
定理7若正项级数 收敛，则任意项级数 必收敛.
定理8设 是任意项级数，若满足下列条件之一，则级数 必绝对收敛.
(1)存在收敛的正项级数 ，满足 ;
(2） ;
（3）
三、主要例题：
例1证明正项级数 是收敛的.
例2判定级数 的敛散性.
例20讨论级数 的收敛性，若收敛，问是绝对收敛，还是条件收敛
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第八章第三节幂级数的收敛及函数的展开式
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
收敛域和和函数的求法，幂级数展开
教学难点
展开级数的条件
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
例11讨论下列正项级数的敛散性.
（1） ；（2） .
例12讨论下列正项级数的敛散性.
（1） ；（2） .
例13试证明交错级数
是收敛的.
例14判定交错级数 的敛散性.
例15级数 收敛.
例16判别级数 的收敛性.
例17判别级数 的收敛性.
例18判别级数 的收敛性.
例19判别级数 是绝对收敛还是条件收敛.
设有级数 ，其中 为任意实数，那么该级数叫做任意项级数．
若级数 收敛，级数 也收敛，则称级数 绝对收敛；若级数 收敛，级数 发散，则称级数 条件收敛；
二、定理与性质：
定理1（基本定理）正项级数 收敛的充分必要条件是它的部分和数列 有界.
定理2（比较审敛定理）：设 是两个正项级数，且 ，则有
若级数 收敛，则级数 也收敛；若级数 发散，则级数 也发散.
性质2若级数 ， 分别收敛于 和 ，即
则级数 也收敛，其和为 ，即有
推论若 ，则级数 与 具有相同的收敛性；若级数 ， 一个收敛一个发散，则级数 一定发散.
性质3(级数收敛的必要条件)如果级数 收敛，则 .
推论如果当 时，级数的一般项 不趋于零，那么级数发散.
性质4改变级数中有限项的值不会改变级数的收敛性.
推论级数中去掉或加进有限多项不改变级数的收敛性.
三、主要例题：
例1讨论级数(等比级数)
的收敛性.
例2证明级数
是收敛的.
例3判定级数 的敛散性.
例4判定级数 的敛散性.
例5证明级数 是发散的.
例6证明调和级数
是发散的.
例7求级数 的和.
例8讨论级数 的收敛性.
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第八章第二节常数项级数的审敛准则
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
比较法和比值法，莱布尼兹公式
教学难点
绝对收敛和条件收敛
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
同济大学高等数学教案第八章无穷级数
高等数学教学教案
第一章函数、连续与极限
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第八章第一节常数项级数的概念与性质
课的类型
复习、新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
几何级数和p级数
教学难点
无穷级数概念和性质
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》
大纲要求
了解正项级数的比较审敛法，
掌握正项级数的比值审敛法，
了解交错级数的莱布尼兹定理，
会估计交错级数的截断误差，
了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
常数设， ，级数 或 称为交错级数.
项级数的每一项都是常数，当各项都是大于或等于零的常数时，称为正项级数.
定义2对数列 ，取它的前 项的和
，
称为级数的部分和（前 项之和）.
定义3若级数的部分和数列 有极限 ，即 ，则称无穷级数 收敛，这时，极限 就叫做无穷级数 的和，并写成 ；若数列 没有极限，则称无穷级数 发散.
二、定理与性质：
收敛级数的基本性质
性质1若级数 收敛，其和为 ，则对任何常数 ，级数 收敛，且其和为 ，即
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。
了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。
了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。
会利用和的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。
推论（比较审敛定理的极限形式）：设 是两个正项级数， ，
若 ，则 与 同敛散；
若 ，则当 收敛，有 也收敛；
若 ，则当 发散，有 也发散.
定理3（比值审敛定理）设 是正项级数，且 ，
则有
定理4（根值审敛定理）若 为正项级数，且 ，则当 时， 收敛；当 时， 发散；当 时，无法确定.
*定理5（积分审敛定理）若 （ ）为非负的不增函数，则 与 同敛散.
安玉伟等《高等数学定理方法问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，
了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件，
掌握几何级数和p级数的收敛性
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
定义1设有数列 ， ，将数列 中的各项用加号连接的形式
称为常数项无穷级数，简称级数，记为 ，其中 是求和记号，称为下标变量，第 项称为级数的一般项（通项）.