2017届高考数学二轮复习 第三部分 能力篇 专题四 抽象概括能力与数据处理能力课时作业 文1.(2016·西安八校联考)如图所示的茎叶图是甲、乙两位同学在期末考试中的六科成绩，已知甲同学的平均成绩为85，乙同学的六科成绩的众数为84，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,4 B ．4,4 C ．5,6D ．6,4解析：x 甲＝75＋82＋84＋80＋x ＋90＋936＝85，解得x ＝6，由图可知y ＝4，故选D.答案：D2．通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，得到如下的列联表：男 女 总计 受好 10 40 50 不爱好 20 30 50 总计3070100附表：P (K 2≥k 0)0.10 0.05 0.025 k 02.7063.8415.024随机变量K 2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，经计算，K 2的观测值k 0≈4.762，参考附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：由表可知，有95%的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选A. 答案：A3．(2016·湖南五校调研)已知函数f (x )是定义在R 上的增函数，则函数y ＝f (|x －1|)－1的图象可能是( )解析：设y ＝g (x )＝f (|x －1|)－1，则g (0)＝f (1)－1，g (1)＝f (0)－1，g (2)＝f (1)－1， ∴g (0)＝g (2)，排除A ，C ，又f (x )是定义在R 上的增函数， ∴g (0)>g (1)，排除D ，选B. 答案：B4．据我国西部各省(区，市)2016年人均地区生产总值(单位：千元)绘制的频率分布直方图如图所示，则人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.7解析：依题意，由图可估计人均地区生产总值在区间[28,38)上的频率是1－(0.08＋0.06)×5＝0.3，选A. 答案：A5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p ＝at 2＋bt ＋c 的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－0.2(t －3.75)2＋0.812 5，所以当t ＝3.75分钟时，可食用率p 最大．故选B. 答案：B6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义α·β＝α·ββ·β，若平面向量a ，b 满足|a |≥|b |，a 与b 的夹角θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，则a ·b等于( ) A.12 B ．1 C.32D.52解析：设a ·b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ＝k 12，b ·a ＝|b ||a |cos θ＝k 22，两式相乘，得cos 2 θ＝k 1k 24.因为a ·b 和b ·a 都在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ ⎪⎪⎪n 2n ∈Z 中，所以k 1，k 2都是正整数．因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以12<cos 2θ＝k 1k 24<1，即2<k 1k 2<4，所以k 1k 2＝3.而|a |≥|b |>0，所以k 1＝3，k 2＝1，于是a ·b ＝32. 答案：C7.如图是某路段从晚上8点到第二天6点监控拍到的经过的车辆数量(单位：台)的茎叶图，则数据落在区间[10,20)内的概率为________．解析：因为共有10个样本数据，数据落在区间[10,20)内的有2个人，所以所求概率为210＝0.2. 答案：0.28．给定方程：⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋sin x －1＝0，下列命题：①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数根； ④若x 0是方程的实数根，则x 0>－1. 正确的序号是________．解析：由题意可知求方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋sin x －1＝0的解，等价于求函数y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝sin x 的图象交点的横坐标，作出它们的图象，如图所示．由图象可知：①该方程没有小于0的实数解，错误；②该方程有无数个实数解，正确；③该方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解，正确；④若x 0是该方程的实数解，则x 0>－1，正确． 答案：②③④9．(2016·安徽八校联考)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，下列关于高斯函数的说法正确的有________． ①[－x ]＝－[x ]； ②x －1<[x ]≤x ；③∀x ，y ∈R ，[x ]＋[y ]≤[x ＋y ]； ④∀x ≥0，y ≥0，[xy ]≤[x ][y ]； ⑤离实数x 最近的整数是－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x ＋12. 解析：当x ＝1.1时，[－x ]≠－[x ]，①错；因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以②恒成立，即②对；因为[x ]表示不超过x 的最大整数，所以x －[x ]为小数部分，记作{x }，设[x ]＝a ，{x }＝b ，[y ]＝c ，{y }＝d ，因为[x ＋y ]＝[a ＋b ＋c ＋d ]＝a ＋c ＋[b ＋d ]＝[x ]＋[y ]＋[b ＋d ]，所以[x ＋y ]≥[x ]＋[y ]，③对；因为[xy ]＝[(a ＋b )(c ＋d )]＝[ac ＋ad ＋bc ＋bd ]＝ac ＋[ad ＋bc ＋bd ]＝[x ][y ]＋[ad ＋bc ＋bd ]，所以[xy ]≥[x ][y ]，④错；用特殊值检验可知⑤正确．综上所述，选②③⑤. 答案：②③⑤10．(2016·河北三市联考)下表是高三某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果统计如下：月份 9 10 11 12 1 历史(x 分) 79 81 83 85 87 政治(y 分)7779798283(1)求该生5(2)一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量x 、y 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.附：b ^＝∑ni ＝1x i －xy i －y∑n i ＝1x i －x 2＝∑ni ＝1x i y i －nx － y－∑ni ＝1x 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .解析：(1)x ＝15×(79＋81＋83＋85＋87)＝83，∵y ＝15×(77＋79＋79＋82＋83)＝80，∴s 2y ＝15×[(77－80)2＋(79－80)2＋(79－80)2＋(82－80)2＋(83－80)2]＝4.8.(2)∵∑5i ＝1 (x i －x )(y i －y )＝30，∑5i ＝1 (x i －x )2＝40， ∴b ^＝0.75，a ^＝y －b ^x ＝17.75. 则所求的线性回归方程为y ^＝0.75x ＋17.75.11．为了解高三学生参加体育活动的情况，对某校高三学生一个月内参加体育活动的次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生在一个月内参加体育活动的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图.分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25[15,20) 24n [20,25) mp[25,30] 20.05 合计M1(1)求a 的值，并根据此频率分布直方图估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数(精确到个位数)；(2)在所取的样本中，从参加体育活动的次数不少于20次的学生中任选2人，求这2人中至少有1人参加体育活动的次数不少于25次的概率． 解析：(1)∵分组[10,15)的频数是10，频率是0.25，∴10M＝0.25，∴M ＝40，即频数之和为40，∴n ＝2440＝0.60，又a 是分组[15,20)对应的频率与组距的商， ∴a ＝0.605＝0.12.∴所求中位数为15＋0.250.60×5≈17，即估计该校高三学生在一个月内参加体育活动的次数的中位数为17.(2)由(1)知m ＝4，故样本中参加体育活动的次数不少于20次的学生共有6人，其中参加体育活动的次数在[20,25)的学生共有4人，分别记为a ，b ，c ，d ， 参加体育活动的次数在[25,30]的学生共有2人，分别记为e ，f .则从这6人中任选2人的所有基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(a ，f )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，d )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共15个，这2人中至少有1人参加体育活动的次数不少于25次的基本事件为(a ，e )，(a ，f )，(b ，e )，(b ，f )，(c ，e )，(c ，f )，(d ，e )，(d ，f )，(e ，f )，共9个．由古典概型的概率计算公式可得，所求概率为P ＝915＝35.12．下图是某市11月1日至15日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，该市某校准备举行为期3天(连续3天)的运动会，在11月1日至13日任意选定一天开幕．(1)求运动会开幕日未遇到空气污染的概率； (2)求运动会期间至少两天空气质量优良的概率．解析：(1)该校运动会开幕日共有13种选择，其中遇到空气污染的选择有4日，6日，7日，8日，11日，13日，所以运动会开幕日未遇到空气污染的概率是P 1＝1－613＝713.(2)该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的开幕日有1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是P 2＝713.。