a t a
第一次课
第一章 三角形的证明
知识点一：等腰三角形1、全等三角形的性质及判定
全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。

判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS.2、等腰三角形的性质定理：
①等腰三角形，两底角相等（等边对等角）。

②等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。

( “三线合一”)
③等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。

（特殊线段相等）。

等腰三角形的判定定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

知识点二：等边三角形
1、等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都等于60°。

2、等边三角形的判定定理：①有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

②三个角都相等的三角形是等边三角形。

知识点三：反证法
步骤：①假设：假设结论不成立； ②推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论；
③假设不成立； ④原命题成立。

知识点四：直角三角形 1、直角三角形性质定理：
①角的角度：直角三角形，两锐角互余。

②边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

2、直角三角形的判定定理：
①角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。

②边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此
三角形是直角三角形。

）3、特殊的直角三角形：
①①在直角三角形中，有一个角是30°，则它所对的直角边是斜边的一半。

②②在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30°。

4、“HL ”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。

（注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。

）知识点五：垂直平分线（点到点）
1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（垂直平分线点到点的距离相等）
3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个顶点的距离相等。

（证明“三点共线”：先作出其中两条边的交点，再证明该点在第三条线上）知识点六：角平分线（点到边）
1、角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

2、角平分线性质定理的符号语言：∵D 在∠ABC 的角平分线BM 上，且
DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴DE=DF 。

3、角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。

4、平分线判定定理的符号语言（∠ABC ）：∵DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，且 DE=DF ，所以D 在∠ABC 的
角平分线。

3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条边的距离相等。

知识点七：尺规作图：
1、线段垂直平分线的画法：①分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径画弧线。

得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。

②连接这两个交点。

2、等腰三角形的画法：①已知，求作②
例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰三角形。

已知：线段a 和b.
求作：等腰三角形△ABC ，使BC=B ，高AD=a.解：作法：①.作射线BE ；
②.在射线BE 上取一点C ，使BC=b ；
③作线段BC 的垂直平分线MN ，交BC 于点D ；
④以点D 为圆心，以a 为半径画弧，交MN 于A ；⑤连接AB 、AC.
则△ABC 就是所求作的三角形。

4、角平分线的画法（∠ABC ）：
①①以角的顶点B 为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交AB 、BC 于点M 、N ；
判定定理
性质定理
判定定理
a t i m
e a
n d
A l l
t h
i
n g
s i
n
r
e i n
g a
②②分别以M、N分别为圆心，以大于1/2MN为半径画弧，两弧交于点O；
③③连接BO。

专题一：证明线段相等
1、如图，已知在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AC上一点，BE与AD交于点F，若AE=EF，求证：AC=BF.
2、已知:如图,△ABC是等边三角形,BD是AC边上的高,延长
BC到E,使CE=CD,求证:BD=DE 。

专题二：证明角相等
3、如图，已知等边△ABC，现将△ABC折叠，使A点落在BC边上D点，折痕为EF，求证：∠BED=∠FDC．
4.已知:如图,△ABC（AB≠AC）中,D、E在BC上,且DE=EC,过D作DF//BA交AE于点F,DF=AC.求证:AE平分∠BAC 专题四：角平分线的应用
、如图，，，，若，则_____
BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由。

）求证：。

i n g
a t。