风险规避上海财经大学经济学院风险规避•A=A R +–简化：A ＝(w 1, w 2,…, w n )概率分布–概率分布：(p 1, p 2,…, p n )–g= (p 1 o w 1,…, p n o w n )–假设：期望效用函数u (·)可微，而且有u ′(w )>0–n =–1()i i i E g p w =∑1()()ni i i u g p u w ==∑–1(())()ni i i u E g u p w ==∑风险规避定义风险规避：定义义险•定义4.4：风险厌恶–给定任意的非退化简单彩票∈G ，g •如果有u (E(g))>u (g) ，那么，该消费者是风险规避nn–u (w )是严格凹函数:11()()i i i i i i u p w p u w ==>∑∑–g= (p 1 o w 1, p 2 o w 2)u (w )u (E (g ))u (w 2)u (g )u (w 1)w 1w 2w E (g )风险规避定义风险规避：定义义险中性•定义4.4：风险中性•给定任意的非退化简单彩票g ∈G ，•如果有u (E(g))=u (g) ，那么，该消费者是风险中性n n–u (w )是线性函数：11()()i i i i i i u p w p u w ===∑∑u (w )u (E (g ))=u (g )u (w 2)u (w 1)w 1w 2w风险规避定义风险规避：定义义险爱•定义4.4：风险爱好•给定任意的非退化简单彩票g ∈G ，•如果有u (E(g))<u (g) ，那么，该消费者是风险爱好–nnu (w )是严格凸函数：11()()i i i i i i u p w p u w ==<∑∑u (w )u (w 2)u (E (g ))u (g )Pw 1w 2wE (g )u (w 1)CE风险规避命题•命题：u(w)性质与风险态度–例：w=(w1, w2), g=(.5 o w1,.5 o w2)u(w)u(w2)u(E(g))u(g)u(w1)w1w2wE(g)风险规避度量•定义4.5：–确定性等价CE: u(CE) =u(g)–风险金P:(())()u E g P u g−=–P=E(g)-CE, [CE+P=E(g)]u(w)u(w2)u(E(g))u(g)u(w1)Pw1w2wE(g) CE风险规避度量•定理4.C.1: 如果决策者是一个期望效用最大策个大列命等价化者，那么下列命题是等价的：–决策者是风险规避者–u(.)是严格凹函数()–CE < Eg–P > 0风险规避度量•决策者是风险爱好者–u (.)是严格凸函数–CE > Eg –P < 0u (w )u (w 2)u (g )w 1w 2wE (g )u (E (g ))u (w 1)CE P风险规避度量•例4.5：u (w )=ln (w )–g =(.5 o w -h , .5 o w +h )00–E(g)= w 0–u (CE )= u )(g)221/20ln()w h =−221/2−Æln (CE ) = .5 ln (w 0-h ) + .5 ln (w 0+ h ) 0()()CE w h E g →=<–P=w 0-CE 221/200()0w w h =−−>–正仿射变换不影响CE 和P风险规避度量•不同消费者之间风险态度的比较u B(w)u A(w)u(E(g))u(w2)u(g)u(w1)PP2w1w2wE(g) CE A1 CE B风险规避度量关消费消费•定理4.C.2(A)：下列关于消费者1比消费者2更风险规避的定义是等价的险定等价–对任意的g，都有CE1≤CE2都有–对任意的g，都有P1≥P2风险规避度量•不同消费者之间风险态度的比较–u B (w )比u B (w )更凹–存在一个凹函数h (.)使得，u B (w )=h (u A (w ))u A (w )u (w 2)u B (w )u (E (g ))u (g )u (w 1)P 1P 2w 1w 2wE (g )CE A CE B风险规避度量关消费消费•定理4.C.2：下列关于消费者1比消费者2更风险规避的定义是等价的险定等价–对任意的g，都有CE1≤CE2都有–对任意的g，都有P1≥P2–存在一个凹函数h(.)使得，u1(w)=h(u2(w))对任意的财富水平都有–对任意的财富水平都有：RA1≥RA2,4C 2*定理4.C.2证明（续）))00()0•给定•令g= (p 1 o w 1,…, p n o w n )()(()) u w h v w w =≥0, )<0h h x ′′′>21()()ni i i v CE p v w ==∑•由定义11()()ni i i u CE p u w ==∑111()()(())nni i i i i i u CE p u w p h v w ====∑∑•因为h (·)是严格凹函数：111()(())()nn i i i i i i u CE p h v w h p v w ==⎛⎞=<⎜⎟⎝⎠∑∑2(())h v CE =•因为h (·)是严格递增函数，得到12CE CE <风险规避•绝对风险规避系数与财富绝险避系数与财富–DARA：风险规避递减性质–IARA：风险规避递增性质–CARA：风险规避不变性质风险规避不变性质保险需求例3：保险需求•Endowment:w 0•Risk: g=(αo (w 0-L ), (1-α) o w 0 ) α∈(0,1)•Actually fair price of insurance ρ:–α(ρ-1)+(1-α) ρ=0 Æρ= α•The amount of insurance xg(x )=(αo (w 0-L-αx+x ), (1-α) o (w 0-αx )u (g(x ))=αu (w 0-L-αx+x ),+(1-α) u (w 0-αx )Max x(1(10u w x L x u w x αααααα′′⇒−−−+−−−=00()()()()00()()u w x L x u w x αα′′⇒−−+=−x L⇒=实际生活中人们的风险态度？•[8]请你在以下两个赌注中选一个请你在以下两个赌注中选个–A : 25% 的可能性赢$6000，–B : 25% 的可能性赢$4000，25% 可能性赢$2000；–结果：68人中18%选A，82％选B所以对大多数人而言两个赌注的期价值满足•所以，对大多数人而言，两个赌注的期望价值满足–π(.25)*v (6000) < π(.25)*v (4000)+ π(.25)*v (2000)–(6000)<(4000)+v(6000) v(4000)v(2000)–Æ支持价值函数v是凹函数实际生活中人们的风险态度？•[8’]请你在以下两个赌注中选一个’请你在以下两个赌注中选个– A : 25% 的可能性输$6000 at 25% chance– B : 25% 的可能性输$4000 ，25% 的可能性输$2000–结果：68人中70% 选A，30％选B•所以，对大多数人而言，两个赌注的期望价值满足所以对大多数人而言两个赌注的期望价值满足–π(.25)*v (-6000) > π(.25)*v (-4000)+ π(.25)*v (-2000) –v(-6000) < v(-4000)+ v(-2000)–Æ支持价值函数v是凸函数价值函数(value function)V lValueConcave in theDomain of gains –So Risk AverseGainsLossesConvex in the Domain of Losses –So Loss curve is Steeper than Gain curve –Risk Seeking So Losses“Loom larger”Than gains-选择1：z方案A可以确定的救活200个生命z方案B有1/3的可能性救活所有人，但存在2/3的可能性没有一个被救活；-选择2：z方案C：将有400人确定的死亡；z方案D：有2/3的可能性会使所有人都死亡，但存在1/3的可能性没有一个死亡；28。