例：
Lorenz系统
Logistic 映射
xn1axn(1xn)
2．非线性 产生混沌的系统一定含有非线性因素，有了非线性未必产
生混沌，但没有非从功能上看，非线性是通过线性来定义的， 设G1和G2是任意两个(向量)函数，a和b是任意两个常数，若算 子乙满足如下叠加原理:
L(aGl+bG2) =aL(G1)+ bL(G2)， 则称L是线性算子，否则L是非线性算子。包含非线性算子的系 统称为非线性系统与非线性也不是绝对分明的。对于某些复杂 现象，在一定条件下，既可以把它视为非线性现象也可以把它 视为线性现象，这与人们看问题的角度和所关心的变量的时空 尺度不同有关。现在看来，非线性是普遍存在的，多数问题不 能通过线性的办法或线性化的办法来解决，因而直接面对非线 性是不可避免的。
3．对初始条件的敏感依赖性 1963年，洛伦兹发表了关于混沌理论的开创性研究，
并提出了形象的“蝴蝶效应”。被冷落了12年之后，1975 年数学家吕埃尔和塔肯斯建议了一种湍流发生机制，认为 向湍流的转变是由吸引子”上。这里所谓“吸引子”是指 运动轨迹经过长时间之后所采取的终极形态：它可能是稳 定的平多回转曲线，这时它就称为“奇怪吸引子”。奇怪 吸引子上的运动轨道，对轨道初始位置的细小变化极其敏 感，但吸引子的大轮廓却是相当稳定的。
后来洛伦兹发现两次计算的差别只是第二次 输入中间数据时将原来的0.506127省略为 0.506。洛伦兹意识到，因为他的方程是 非线性的，非线性方程不同于线性方程， 线性方程对初值的依赖不敏感，而非线性 方程对初值的依赖极其敏感。正是初始条 件的微小误差导致了计算结果的巨大偏离。 由此洛伦兹断言：准确地作出长期天气预 报是不可能的。对此，洛伦兹作了个形象 的比喻：一只蝴蝶在巴西扇动一下翅膀会 在美国的得克萨斯州引起一场龙卷风，这 就是蝴蝶效应。
i) 系统的变化看似毫无规则，但实际上是有迹可寻的。
ii)系统的演化对初始条件的选取非常敏感，初始条件极微小的 分别（就例如0.6和0.6001仅仅相差六千分之一）， 在一段时 间的演化后可带来南辕北辙的结果。
典型连续混沌系统——Chen系统
典型连续混沌系统——Lorenz系统
典型连续混沌系统——RÖssler系统
真实球 虚拟球
今天，“蝴蝶效应”几乎成了混沌现象的代名词。
1961年美国气象学家洛伦兹利用他的一台 老爷计算机，根据他导出的描述气象演变的非 线性动力学方程进行长期气象预报的模拟数值 计算，探讨准确进行长期天气预报的可能性。
有一次，洛伦兹为了检验上一次的计算结 果，决定再算一遍。但他不是从上一次计算时 的最初输入的数据开始验算，而是以一个中间 结果作为验算的输入数据。他发现，经过一段 重复过程后，计算开始偏离上次的结果，甚至 大相径庭。就好比一个计算结果预报几个月后 的某天是晴空万里，另一个计算结果则告诉你 这一天将电闪雷鸣！
典型连续混沌系统——Chua系统
典型离散混沌映射
典型离散混沌映射
4．非周期性 在数学和物理学中，周期性的定义是很明确的。对于函
数f(x)，若能找到一个最小正数t满足关系f(x+t)=f(x)，则称f(x) 是周期函数，t为其周期；否则f(x)就是非周期的, 非周期性意 味着构成奇怪吸引子的积分曲线从不重复原曲线而封闭。这 样，向着奇怪吸引子演化的系统，从来不以同样的状态重新 经过。非周期性说明，混沌运动的每一瞬间都是“不可预见 的创新”的发生器。应当注意的是“非周期性”这个概念比 “混沌’’要广、要大的多。比如，准周期是非周期的，但 不是混沌；遍历运动是非周期的，但单纯遍历还不是混沌。 混沌运动要求有“混合”的性质，即“对初始条件的敏感依 赖性”。但这并不能因此说混沌运动就是杂乱而无用的，相 反，混沌不是无序和紊乱。一提到有序，人们往往会想到周 期排列或对称形状。
混沌理论及应用
一、混沌的基本概念及特征
混沌的概念：混沌（chaos）又称浑沌，人们通常 用它来描述混乱、杂乱无章、乱七八糟的状态， 在这个意义上它与无序的概念是相同的。
1．确定性 在混沌系统中，描述系统演化的动力学方程的确定性，
是指方程(常微分方程、差分方程、时滞微分方程)是非随 机的，不含任何随机项。系统的未来(或过去)状态只与初 始条件及确定的演化规则有关，即系统的演化完全是由内 因决定的，与外在因素无关。这是至关重要的一条限制， 所以我们现在讲的混沌长远的观点来看，人们肯定会研究 带有随机项的更复杂系统的非周期运动。然而，目前由于 公众对混沌还有相当象的层次把一大堆似是而非的东西都 称为混沌。总之，混沌概念的狭义化总比泛化好些。现在 我们考虑的混沌主要是一种时间演化行为，不直接涉及空 间分布变化，所以暂不考虑偏微分方程。
但是，混沌更像是没有周期性的次序。在理想模型 中，它可能包含着无穷的内在层次，层次之间存在 着“自相似性”或“不尽相似”。在观察手段的分 辨率不高时，只能看到某一个层次的结构；提高分 辨率之后，在原来不能识别之处又会出现更小尺度 上的结构。
5．分叉
分叉(bifurcation)是有序演化理论的基本概念，这是混沌 出现的先兆。在动态系统演化过程中的某些关节点上，系统的 定态行为(稳定行为)可能发生定性的突然改变，即原来的稳定 定态变为不稳定定态，同时出现新的定态，这种现象就是分叉。 发生分叉现象的关节点叫做分叉点，在分叉点系统演化发生质 的变化。动态系统演化中的分叉现象充分说明了量变引起质变 的规律。分叉又是一种阈值行为，只要系统的非线性作用强到 一定程度，就可能出现分叉。所以，凡是产生混沌的系统，总 可以观察到分叉序列。
• 逻辑斯蒂映射的形式为
xn1axn(1xn)
Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)
brown: x0=0.6
green: x0=0.6001
Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)
brown:பைடு நூலகம்x0=0.37
green: x0=0.3701
Example : f(xn+1)=4xn(1-xn)