圆锥曲线光学性质及生活中的应用
杭州高级中学高二（12）：汪愈超、汤凯楠、王小川学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣，在反复查找资料，推理演算下，总算是确定了三条待证命题，大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用。
一、圆锥曲线的光学性质
首先说明一下我们要证明的东西，总共有三样：
1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献
3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对
称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。
二、问题转化及证明
在证明前，如果不知道这三点，是很麻烦的
因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以这三个公式先提前列出
1若点00(,)P x y 是椭圆22
221x y a b
+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：
00221x x y y
a b
+=。
2若点00(,)P x y 是双曲线22
221x y a b
-=上任一点，则双曲线过该点的切线方
程为：00221x x y y
a b
-=
图1.3
图1.2 图1.1
3若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y y p x x =+
1. 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图
2.1）
已知：如图，设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是
过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴
于D
设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.
解：在22
22:1x y C a b
+=上，00(,)P x y C ∈，
则过点P 的切线方程为：00221x x y y
a b
+=
'l 是通过点P 且与切线l 垂直的法线， 则
0000222211':(
)()()y x l x x y b a b a -=-
∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c
D x a
∴22
102022||,||c c F D x c F D c x a a
=+=-
∴2012
20
||||a cx F D F D a cx +=- 又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=- ∴
1122||||
||||
F D PF F D PF = ∴PD 是12F PF ∠的平分线 ∴αβ=
∵ββαα'+=︒='+90，故可得βαβα'='⇔=
L
2.双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）；
已知：如图，双曲线C 的方程为22
221x y a b
-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是
过双曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F PD α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ=
解：22
22:1x y C a b
-=
两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(2
2
2
b a
c +=
00(,)P x y 在双曲线上
则过点P 的切线
00221x x y y
a b
-= 切线l 与x 轴交于2
(,0)a D x 。
由双曲线的焦半径公式得
1020|||
|,||||c c
PF x a PF x a a a
=+=- 双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -'
故011102000220|
|
||||||||||,||||||,||||
||c
x a PF DF a c a c a DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a
+=+=-==
- 故βαβα'='⇔= ， ∴切线l 为F FP '∠之角分线。
图2.2
定理3 抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）。
已知：如图，抛物线C 的方程为为24y cx =， 直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线， 交x 轴于D ，,DPF PDF αγ∠=∠=， 反射线PQ 与l 所成角记为β， 求证：αβ=
证明： 如图 ，抛物线C 的方程为
2:4C y cx =，点00(,)P x y 在该抛物线上，
则过点P 的切线为00()y y p x x =+ 切线l 与x 轴交于0(,0)D x - 焦点为)0,(c F ，γβ= (同位角)
∵00||||,||||PF x c DF x c ==+=+ ∴||||PF DF = ∴γαβα=⇔=
通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的(very difficult )。
那么它在生活中有何应用呢？
图2.3
三．圆锥曲线的应用
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。
圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。
虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时，其总能量与离心率有很奇妙的关系，天体总能量椭圆<0,双曲线>0,抛物线=0，（椭圆e<1,双曲线e>1,抛物线e=1）。
相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。
因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨
迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的
一个焦点上。
如果这些行星运行速度增大到某种程度，
它们就会沿抛物线或双曲线运行。
人类发射人造地球卫
星或人造行星就要遵照这个原理。
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。
它也有一条轴，即抛物线的轴。
在这个轴上有
一个具有奇妙性质的焦点，任何一
条过焦点的直线由抛物面反射出
来以后，都成为平行于轴的直线。
这就是我们为什么要把探照灯反
光镜做成旋转抛物面的道理。
由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相
交，而与另一组母直线却相交。
人们在设计高
大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻
巧又坚固（比如教材当中的冷却塔）
由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。
圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。
我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。
参考文献（1）张奠宙主编《数学教育研究导引》
（2）《圆锥曲线的光学性质及其应用》。