当表面传热系数h或特征长度l未知时，无法确定Bi数的大 小，怎么办？
这种情况下，先假设Bi﹤0.1成立；利用集总参数法求出h 或l；最后进行校核（这一点非常重要）。
若满足Bi﹤0.1，计算可靠； 若不满足Bi﹤0.1，应采用诺模图或其他方法重新计算。
（4）对于形状复杂的物体，采用BiV﹤0.1。
h (V A)
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第四章 / 第三节 非稳态导热
三、集总参数法
—忽略物体内部导热热阻的非稳态导热问题的研究方法。 —特征：忽略物体温度沿空间的变化（零维）。 —使用的前提条件： Bi﹤0.1
❖ 实际导热体：
❖ 很大，或几何尺寸l很小，或h极低 ❖ 导热热阻 l/ << 1/h对流换热热阻。
❖ 例如：小金属块炉内加热或空气中冷却；测温热电偶等。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
t0
（1）建立数学模型
某一时刻物体内部具有 相同的温度t ；经d时间 后，温度变化dt。
热平衡方程：
hA(t
tf
)
cV
dt
d
(第三类边界条件)
假设：
一个任意形状的物体，体积V，
表面面积A；密度、比热容c及 热导率为常数；
无内热源；初始温度为t0。 突然放入温度tf恒定的流体中冷却， 物体和流体之间的表面传热系数h 为常数。
第四章 / 第三节 非稳态导热
三、 集总参数法
❖ 当Bi→0时，任意时刻物体内部的温度趋 于一致，可忽略温度沿空间的变化，
❖ 认为，在同一时刻物体内任意位置的温 度均处于同一温度下，好像该物体原来 连续的质量与热容量都汇总到一点上， 只有一个温度值那样。
集总热容系统—可忽略温度沿空间变化的物体 集总参数法——忽略物体内部导热热阻的简化分析方法 （lumped parameter method）
(2)以上计算公式针对第三类边界条件下导出。 在其他边界情况下的非稳态导热，只要物体内部
导热热阻可以忽略即可用集总参数法分析； 但必须根据能量守恒重新建立导热微分方程式： 进入导热体的热量-离开导热体的热量 +内热源生成的热量=导热体热力学能的增量
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第四章 / 第三节 非稳态导热
几点说明
（3）利用集总参数法计算时，必须首先检验 Bi﹤0.1是否成立。
❖ 4-17（大平壁； c=/a ；求 =10℃时所需时间=? ）
❖ 4-19（诺模图，二维乘积法，tm几何=59.9℃ ，tm曲面=58.9℃ ；
❖
集总参数法：t=58.2℃ ）
短圆柱：体积 V=R2L ，表面积A=2RL+2 R2 。
11
exp(
hA
cV
)]
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第四章 / 第三节 非稳态导热
（4）适用条件
Bi﹤0.1
Bi hl
厚度2 的无限大平壁
无限长圆柱体 球体
l
半厚 半径R 半径R
Bi
h / hR/ hR/
V/A
R/2 R/3
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第四章 / 第三节 非稳态导热
几点说明
(1)以上分析结果既适用于物体被冷却的情况， 也适用于物体被加热的情况。
分离变量积分
d
hA d
0
0 cV
ln hA 0 cV
t tf exp( hA )
0 t0 tf
cV
exp(BiV FoV )
BiV
h (V
A)
FoV
a
(V A)2
(下标“V”表示以V A作为特征长度）
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第四章 / 第三节 非稳态导热
温度变化规律：
随时间 呈指数函数规律变化，
量cV和物体表面的对
流换热条件hA。 5
第四章 / 第三节 非稳态导热
计算公式的应用：
0
t tf t0 tf
exp( hA ) cV
exp(BiV FoV )
exp( ) c
（1）已知温度t，求时间； （2）已知时间，求温度t； （3）已知温度t和时间，求c或h。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
BiV
例4-10、例4-11
换热面积
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第四章 / 第三节 非稳态导热
作业：
❖ 仔细阅读：
❖ 例 4-9 （钢球，l=R；求 时刻的温度t=？） ❖ 例4-10 （碎肉，长方体V/A；BiV﹤0.1；溶化温度t=0℃） ❖ 例4-11 （曲轴，形状更复杂V/A；求过余温度为时的时间=?）
❖ 习题：
开始温差大、温度变化快， 随后逐渐减弱。
＝4c 稳态
（热平衡）
令
c
cV
hA
c称为时间常数。
当＝c时，
e1 0.368 36.8% 0
时间常数反映物体对周围环境温 度变化响应的快慢。
c 越小，温度变化越快。
热电偶的时间常数越 小越好。这样热电偶越 能迅速地反映被测流体
的温度变化。
影响时间常数大小的 主要因素：物体的热容
假设满足Bi0.1的条件。 求解：
❖ 物体温度分布t = f ( );
❖ 换热量Q。
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第四章 / 第三节 非稳态导热
引入过余温度 = t – tf
cV d hA
hA hV AΒιβλιοθήκη cV A c V 2d 初条： 0， t0 t f 0
h (V
A)
(V
a
A) 2
BiV FoV
（2）求解温度分布t = f ( )
（3）换热量的计算
❖ 瞬时热流量【W】
hA(t
tf
)
hA
hA0
exp(
hA
cV
)
cV
d d
hA0
exp(
hA
cV
)
❖ 在0~时间间隔内交换的总热量Q【J】
Q
d
0
hAd
0
hA0
0
exp(
hA
cV
)d
ρcV0[1 exp(
hA
cV
)]
Q
cV
(t0
t)
cV
(0
)
cV0
(1
0
)
cV0[1