第二章 随机变量及其分布习题2.11. 口袋中有5个球,编号为1, 2, 3, 4, 5.从中任取3只,以X 表示取出的3个球中的最大号码.(1)试求X 的分布列;(2)写出X 的分布函数,并作图. 解:(1)X 的全部可能取值为3, 4, 5,且1.0101351}3{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,3.01033523}4{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,6.01063524}5{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 故X 的分布列为6.03.01.0543P X;(2)因分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = 3, 4, 5,当x < 3时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当3 ≤ x < 4时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} = 0.1,当4 ≤ x < 5时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4,当x ≥ 5时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1;54,4.0;43,1.0;3,0)(x x x x x F2. 一颗骰子抛两次,求以下随机变量的分布列:(1)X 表示两次所得的最小点数;(2)Y 表示两次所得的点数之差的绝对值. 解:(1)X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6,且3611656}1{222=−==X P ,369645}2{222=−==X P , 367634}3{222=−==X P ,365623}4{222=−==X P , 363612}5{22=−==X P ,36161}6{2===X P ,故X 的分布列为3613633653673693611654321PX ; (2)Y 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,且36666}0{2===Y P ,3610625}1{2=×==Y P , 368624}2{2=×==Y P ,366623}3{2=×==Y P ,364622}4{2=×==Y P ,362621}5{2=×==Y P ,故Y 的分布列为 3623643663683610366543210PY . 3. 口袋中有7个白球、3个黑球.(1)每次从中任取一个不放回,求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列;(2)如果取出的是黑球则不放回,而另外放入一个白球,此时X 的概率分布列如何. 解:(1)X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4,且107}1{==X P ,30797103}2{=×==X P , 12078792103}3{=××==X P ,1201778192103}4{=×××==X P , 故X 的概率分布列为120112073071074321PX ; (2)X 的全部可能取值仍为1, 2, 3, 4,且7.0107}1{===X P ,24.0108103}2{=×==X P , 054.010*******}3{=××==X P ,006.01010101102103}4{=×××==X P ,故X 的概率分布列为006.0054.024.07.04321P X .4. 有3个盒子,第一个盒子装有1个白球、4个黑球;第二个盒子装有2个白球、3个黑球;第三个盒子装有3个白球、2个黑球.现任取一个盒子,从中任取3个球.以X 表示所取到的白球数. (1)试求X 的概率分布列;(2)取到的白球数不少于2个的概率是多少?解:设A 1 , A 2 , A 3分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子”,(1)X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3,且P {X = 0} = P (A 1) P {X = 0 | A 1} + P (A 2) P {X = 0 | A 2} + P (A 3) P {X = 0 | A 3}610301304031353331353431=++=×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=, P {X = 1} = P (A 1) P {X = 1 | A 1} + P (A 2) P {X = 1 | A 2} + P (A 3) P {X = 1 | A 3}2130330630635221331352312313524131=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛××=, P {X = 2} = P (A 1) P {X = 2 | A 1} + P (A 2) P {X = 2 | A 2} + P (A 3) P {X = 2 | A 3}10330630303512233135132231031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×=, P {X = 3} = P (A 1) P {X = 3 | A 1} + P (A 2) P {X = 3 | A 2} + P (A 3) P {X = 3 | A 3}30130100353331031031=++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+×+×=, 故X 的概率分布列为30110321613210PX ; (2)所求概率为3130********}3{}2{}2{==+==+==≥X P X P X P . 5. 掷一颗骰子4次,求点数6出现的次数的概率分布.解:设X 表示点数6出现的次数,有X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4,且试验次数n = 4,每次掷骰子点数6出现的概率61=p ,则1296625656104}0{40=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,1296500656114}1{31=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 1296150656124}2{22=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,129620656134}3{13=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 12961656144}4{04=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎠⎞⎜⎝⎛×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 故X 的概率分布列为1296112962012961501296500129662543210PX . 6. 从一副52张的扑克牌中任取5张,求其中黑桃张数的概率分布. 解:设X 表示黑桃张数,有X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,则2215.02598960575757552539013}0{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,4114.025989601069263552439113}1{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,2743.02598960712842552339213}2{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,0815.02598960211926552239313}3{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,0107.0259896027885552139413}4{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,0005.025989601287552039513}5{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 故X 的概率分布列为0005.00107.00815.02743.04114.02215.0543210P X .7. 一批产品共有100件,其中10件是不合格品.根据验收规则,从中任取5件产品进行质量检验,假如5件中无不合格品,则这批产品被接受,否则就要重新对这批产品逐个检验. (1)试求5件产品中不合格品数X 的分布列; (2)需要对这批产品进行逐个检验的概率是多少? 解:(1)这5件产品中不合格品数X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,则583752.075287520439492685100590010}0{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,339391.075287520255519005100490110}1{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 070219.07528752052866005100390210}2{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,006384.0752875204806005100290310}3{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 000251.075287520189005100190410}4{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,000003.0752875202525100090510}5{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,故X 的分布列为000003.0000251.0006384.0070219.0339391.0583752.0543210P X;(2)所求概率为P {X > 0} = 1 − P {X = 0} = 1 − 0.583752 = 0.416248. 8. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<=.6,1;63,21;31,31;10,41;0,0)(x x x x x x F试求X 的概率分布列及P {X < 3},P {X ≤ 3},P {X > 1},P {X ≥ 1}. 解:X 的全部可能取值为其分布函数F (x ) 的分段点0, 1, 3, 6,且41041)00()0(}0{=−=−−==F F X P ,1214131)01()1(}1{=−=−−==F F X P ,613121)03()3(}3{=−=−−==F F X P ,21211)06()6(}6{=−=−−==F F X P , 故X 的概率分布列为2161121413210PX ; 且31)03(}3{=−=<F X P ;21)3(}3{==≤F X P ;32311)1(1}1{1}1{=−=−=≤−=>F X P X P ; 43411)01(1}1{1}1{=−=−−=<−=≥F X P X P .9. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.e ,1e;1,ln ;1,0)(x x x x x F试求P {X < 2},P {0 < X ≤ 3},P {2 < X < 2.5}.解:P {X < 2} = F (2 − 0) = ln 2;P {0 < X ≤ 3} = F (3) − F (0) = 1 − 0 = 1;P {2 < X < 2.5} = F (2.5 − 0) − F (2) = ln 2.5 − ln 2 = ln 1.25.10.若P {X ≥ x 1} = 1 − α ,P {X ≤ x 2} = 1 − β ,其中x 1 < x 2 ,试求P {x 1 < X < x 2}. 注:此题有误,应改为“试求P {x 1 ≤ X ≤ x 2}”解:P {x 1 ≤ X ≤ x 2} = P {X ≤ x 2} − P {X < x 1} = P {X ≤ x 2} + P {X ≥ x 1} − 1 = 1 − β + 1 − α − 1 = 1 − α − β . 11.从1, 2, 3, 4, 5五个数字中任取三个,按大小排列记为x 1 < x 2 < x 3 ,令X = x 2 ,试求(1)X 的分布函数;(2)P {X < 2}及P {X > 4}. 解:(1)X 的全部可能取值为2, 3, 4,且3.01033531}2{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×==X P ,4.01043522}3{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×==X P ,3.01033513}4{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×==X P , 因分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = 2, 3, 4, 当x < 2时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当2 ≤ x < 3时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} = 0.3,当3 ≤ x < 4时,F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 2} + P {X = 3} = 0.3 +0.4 = 0.7, 当x ≥ 4时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<=;4,1;43,7.0;32,3.0;2,0)(x x x x x F(2)P {X < 2} = P (∅) = 0,P {X > 4} = P (∅) = 0. 12.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤−−=.,0;11|,|1)(其他x x x p试求X 的分布函数.解:分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = −1, 0, 1,当x < −1时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当−1 ≤ x < 0时,21221122)](1[)()(22121++=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−−==−−∞−∫∫x x x x u u du u du u p x F xxx, 当0 ≤ x < 1时,xxxu u u u du u du u du u p x F 021200122)1()](1[)()(⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−+−−==−−∞−∫∫∫21202211022++−=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−−=x x x x , 当x ≥ 1时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤++−<≤−++−<=.1,1;10,212;01,212;1,0)(22x x x x x x x x x F13.如果X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≤−<≤=.,0;21,2;10,)(其他x x x x x p试求P {X ≤ 1.5}. 解:872325.13021222)2()(}5.1{25.112125.11105.1=−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=−+==≤∫∫∫∞−x x xdx x xdx dx x p X P . 14.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.2π||,0;2π||,cos )(x x x A x p 试求(1)系数A ;(2)X 落在区间 (0, π /4) 内的概率. 解:(1)由密度函数正则性知122πsin 2πsinsin cos )(2π2π2π2π==⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−===−−∞+∞−∫∫A A A xA xdx A dx x p , 故21=A ; (2)所求概率为4204πsin 21sin 21cos 21}4π0{4π04π0=−===<<∫x xdx X P . 15.设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.1,1;10,;0,0)(2x x Ax x x F试求(1)系数A ;(2)X 落在区间 (0.3, 0.7) 内的概率; (3)X 的密度函数.解:(1)由连续随机变量分布函数的连续性知A A x F F F x =⋅==−==−→211)(lim )01()1(1,故A = 1; (2)所求概率为P {0.3 < X < 0.7} = F (0.7) − F (0.3) = 0.7 2 − 0.3 2 = 0.4;(3)密度函数p (x ) = F ′(x ),当x < 0时,F (x ) = 0,有p (x ) = F ′(x ) = 0,当0 ≤ x < 1时,F (x ) = x 2,有p (x ) = F ′(x ) = 2x , 当x ≥ 1时,F (x ) = 1,有p (x ) = F ′(x ) = 0,故X 的密度函数为⎩⎨⎧<≤=.,0;10,2)(其他x x x p 16.学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量,单位为小时.它的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.,0;5.00,)(2其他x x cx x p (1)确定常数c ;(2)写出X 的分布函数;(3)试求在20min 内完成一道作业的概率; (4)试求10min 以上完成一道作业的概率. 解:(1)由密度函数正则性知1812423)()(5.00235.002=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+=∫∫∞+∞−c x x c dx x cx dx x p ,故c = 21; (2)分布函数F (x ) = P {X ≤ x },分段点为x = 0, 0.5,当x < 0时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0,当0 ≤ x < 0.5时,2727)21()()(2302302x x u u du u u du u p x F xxx+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+==∫∫∞−, 当x ≥ 0.5时,F (x ) = P {X ≤ x } = P (Ω) = 1,故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤+<=;5.0,1;5.00,27;0,0)(23x x x x x x F(3)所求概率为5417181277312131731}316020{23=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×+⎟⎠⎞⎜⎝⎛×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛==≤F X P ; (4)所求概率为1081037212167161216171611}616010{23=−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−⎟⎠⎞⎜⎝⎛×−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==≥F X P . 17.某加油站每周补给一次油.如果这个加油站每周的销售量(单位:千升)为一随机变量,其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=.,0;1000,100105.0)(4其他x x x p试问该油站的储油罐需要多大,才能把一周内断油的概率控制在5%以下?解:设这个加油站每周的销售量为X 千升,储油罐的储油量为a 千升,有P {X > a } ≤ 0.05,则05.010011001100105.0)(}{510051004≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−==>∫∫∞+a x dx x dx x p a X P aaa, 故0720.45)05.01(1005=−≥a .18.设随机变量X 和Y 同分布,X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 已知事件A = {X > a }和B = {Y > a }独立,且P (A ∪B ) = 3/4,求常数a . 解:由于事件A 和B 独立,且显然有P (A ) = P (B ),则43)]([)(2)()()()()()()()(2=−=−+=−+=A P A P B P A P B P A P AB P B P A P B A P U , 可得21)(=A P 或23)(=A P (舍去), 显然0 < a < 2,有218181d 83}{)(32322=−===>=∫a x x x a X P A P a a , 故34=a .19.设连续随机变量X 的密度函数p (x ) 是一个偶函数,F (x ) 为X 的分布函数,求证对任意实数a > 0,有(1)∫−=−=−adx x p a F a F 0)(5.0)(1)(;(2)P {| X | < a } = 2F (a ) − 1;(3)P {| X | > a } = 2[1 − F (a )]. 证:(1)因p (x ) 为偶函数,有∫∫+∞−∞−=a a dx x p dx x p )()(且5.0)(0=∫∞−dx x p ,则∫∫∫∫+=+==∞−∞−a aa dx x p dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)()()()(,故∫∫∫∫−=−=−===−∞−+∞−∞−aa aadx x p a F dx x p dx x p dx x p a F 0)(5.0)(1)(1)()()(;(2)P {| X | < a } = P {−a < X < a } = F (a ) − F (−a ) = F (a ) − [1 − F (a )] = 2 F (a ) − 1; (3)P {| X | > a } = 1 − P {| X | ≤ a } = 1 − P {| X | < a } = 1 − [2 F (a ) − 1] = 2 − 2 F (a ).习题2.21. 设离散型随机变量X 的分布列为3.03.04.0202P X −试求E (X ) 和E (3X + 5).解:E (X ) = (−2) × 0.4 + 0 × 0.3 + 2 × 0.3 = −0.2;E (3X + 5) = (−1) × 0.4 + 5 × 0.3 + 11 × 0.3 = 4.4. 2. 某服装店根据历年销售资料得知:一位顾客在商店中购买服装的件数X 的分布列为04.009.013.031.033.010.0543210P X试求顾客在商店平均购买服装件数.解:平均购买服装件数为E (X ) = 0 × 0.10 + 1 × 0.33 + 2 × 0.31 + 3 × 0.13 + 4 × 0.09 + 5 × 0.04 = 1.9. 3. 某地区一个月内发生重大交通事故数X 服从如下分布002.0006.0026.0087.0216.0362.0301.06543210P X试求该地区发生重大交通事故的月平均数. 解:月平均数E (X ) = 0 × 0.301 + 1 × 0.362 + 2 × 0.216 + 3 × 0.087 + 4 × 0.026 + 5 × 0.006 + 6 × 0.002 = 1.201. 4. 一海运货船的甲板上放着20个装有化学原料的圆桶,现已知其中有5桶被海水污染了.若从中随机抽取8桶,记X 为8桶中被污染的桶数,试求X 的分布列,并求E (X ). 解:X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5,且0511.01259706435820815}0{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,2554.01259703217582071515}1{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 3973.01259705005082061525}2{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,2384.01259703003082051535}3{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 0542.0125970682582041545}4{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ,0036.012597045582031555}5{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P , 故X 的分布列为0036.00542.02384.03973.02554.00511.0543210P X且E (X ) = 0 × 0.0511 + 1 × 0.2554 + 2 × 0.3973 + 3 × 0.2384 + 4 × 0.0542 + 5 × 0.0036 = 2. 5. 用天平称某种物品的质量(砝码仅允许放在一个盘中),现有三组砝码:(甲)1, 2, 2, 5, 10(g );(乙)1, 2, 3, 4, 10(g );(丙)1, 1, 2, 5, 10(g ),称重时只能使用一组砝码.问:当物品的质量为1g 、2g 、…、 10g 的概率是相同的,用哪一组砝码称重所用的平均砝码数最少?解:设X 1 , X 2 , X 3分别表示使用甲、乙、丙组砝码称重时需要的砝码个数,当物品的质量为1g 、2g 、…、10g 时,有X 1 = 1、1、2、2、1、2、2、3、3、1,即P {X 1 = 1} = 0.4,P {X 1 = 2} = 0.4,P {X 1 = 3} = 0.2, X 2 = 1、1、1、1、2、2、2、3、3、1,即P {X 2 = 1} = 0.5,P {X 2 = 2} = 0.3,P {X 2 = 3} = 0.2, X 3 = 1、1、2、3、1、2、2、3、4、1,即P {X 3 = 1} = 0.4,P {X 3 = 2} = 0.3,P {X 3 = 3} = 0.2,P {X 3 = 4} = 0.1,则平均砝码数E (X 1 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 = 1.8,E (X 2 ) = 1 × 0.5 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 = 1.7, E (X 3 ) = 1 × 0.4 + 2 × 0.3 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2, 故用乙组砝码称重所用的平均砝码数最少.6. 假设有十只同种电器元件,其中有两只不合格品.装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品只数的数学期望.解:设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数,X 的全部可能取值为0, 1, 2,则54108}0{===X P ,45898102}1{=×==X P ,4518891102}2{=××==X P , 故9245124581540)(=×+×+×=X E .7. 对一批产品进行检查,如查到第a 件全为合格品,就认为这批产品合格;若在前a 件中发现不合格品即停止检查,且认为这批产品不合格.设产品的数量很大,可以认为每次查到不合格品的概率都是p .问每批产品平均要查多少件?解:设X 表示检查一批产品要查的件数,X 的全部可能取值为1, 2, …, a – 1, a ,则P {X = 1} = p ,P {X = 2} = (1 – p )p ,…,P {X = a – 1} = (1 – p ) a − 2 p ,P {X = a } = (1 – p ) a − 1, 即E (X ) = 1 ⋅ p + 2 (1 – p ) p + … + (a – 1) (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1,有(1 – p )E (X ) = 1 ⋅ (1 – p ) p + 2 (1 – p )2 p + … + (a – 2) (1 – p ) a − 2 p + (a – 1) (1 – p ) a − 1 p + a (1 – p ) a , 得E (X ) – (1 – p )E (X ) = p + (1 – p ) p + … + (1 – p ) a − 2 p + a (1 – p ) a − 1 – (a – 1) (1 – p ) a − 1 p – a (1 – p ) a ,即)]1()1([)1()1(1])1(1[)(11p a p a a p p p p X pE a a −−−−−+−−−−=−−= 1 – (1 – p ) a − 1 + (1 – p ) a − 1 ⋅ p = 1 – (1 – p ) a − 1 ⋅ (1 – p ) = 1 – (1 – p ) a ,故pp X E a)1(1)(−−=.8. 某人参加“答题秀”,一共有问题1和问题2两个问题,他可以自行决定回答这两个问题的顺序.如果他先回答问题i ,那么只有回答正确,他才被允许回答另一题.如果他有60%的把握答对问题1,而答对问题1将获得200元奖励;有80%的把握答对问题2,而答对问题2将获得100元奖励.问他应该先回答哪个问题,才能使获得奖励的期望值最大化?解:设答对问题i 记为事件A i ,记为他先回答问题i 获得的奖励金额为X i 元,i = 1, 2,有X 1的全部可能取值为0, 200, 300,X 2的全部可能取值为0, 100, 300,且4.0)(}0{11===A P X P ,12.0)(}200{211===A A P X P ,48.0)(}300{211===A A P X P ,2.0)(}0{22===A P X P ,32.0)(}100{122===A A P X P ,48.0)(}300{122===A A P X P ,则E (X 1) = 0.4 × 0 + 0.12 × 200 + 0.48 × 300 = 168,E (X 2) = 0.2 × 0 + 0.32 × 100 + 0.48 × 300 = 176, 故E (X 1) < E (X 2),他应该先回答问题2.9. 某人想用10000元投资于某股票,该股票当前价格是2元/股,假设一年后该股票等可能的为1元/股和4元/股.而理财顾问给他的建议是:若期望一年后所拥有的股票市值达到最大,则现在就购买;若期望一年后所拥有股票数量达到最大,则一年以后购买.试问理财顾问的建议是否正确?为什么? 解:设X 表示一年后该股票的价格,X 的全部可能取值为1, 4,若现在就购买股票所拥有的股票数量为5000股,一年后的股票市值为5000X 元,若一年以后购买股票所拥有的股票数量为X10000股,股票市值为10000元, 因E (5000X) = 0.5 × 5000 × 1 + 0.5 × 5000 × 4 = 12500 > 10000,故现在就购买股票,则一年后所拥有的股票市值的数学期望达到最大;因500062504100005.01100005.010000>=×+×=⎟⎠⎞⎜⎝⎛X E , 故一年以后购买股票,则所拥有的股票数量的数学期望达到最大.10.保险公司的某险种规定:如果某个事件A 在一年内发生了,则保险公司应付给投保户金额a 元,而事件A 在一年内发生的概率为p .如果保险公司向投保户收取的保费为ka 元,则问k 为多少,才能使保险公司期望收益达到a 的10%?解:设X 表示保险公司的收益,X 的全部可能取值为ka , ka − a ,则E (X ) = (1 − p ) × ka + p × (ka − a ) = (k − p ) a = 0.1a , 故k = p + 0.1.11.某厂推土机发生故障后的维修时间T 是一个随机变量(单位:h ),其密度函数为⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e 02.0)(02.0t t t p t 试求平均维修时间. 解:平均维修时间5002.0e e e )e (e 02.0)(002.0002.0002.0002.0002.0=−=+−=−=⋅=+∞−∞+−∞+−∞+−∞+−∫∫∫tttt t dt t d t dt t T E .12.某新产品在未来市场上的占有率X 是仅在区间 (0, 1) 上取值的随机变量,它的密度函数为⎩⎨⎧<<−=.,0;10,)1(4)(3其他x x x p 试求平均市场占有率.解:5154342)412124()1(4)(10543210432103=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+−=−+−=−⋅=∫∫x x x x dx x x x x dx x x X E .13.设随机变量X 的密度函数如下,试求E (2 X + 5).⎩⎨⎧≤>=−.0,0;0,e )(x x x p x 解:7e 25e 2e )52()e )(52(e )52()52(0=−=++−=−+=+=++∞−+∞−+∞−+∞−+∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x X E .14.设随机变量X 的分布函数如下,试求E ( X ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x解:因分布函数F (x ) 是连续函数,有X 为连续型,密度函数p (x ) = F ′(x ),当x < 0时,2e )()(xx F x p =′=,当0 < x < 1时,p (x ) = F ′(x ) = 0,当x > 1时,)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ,∫∫∞+−−∞−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅+⋅=1)1210][e 21)(e 21x x d x d x 则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(210e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x , 因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x , 6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ,故1641)1(21)(=×+−×=X E . 15.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=.,0;10,)(2其他x bx a x p如果32)(=X E ,求a 和b . 解:由正则性得133)()(103102=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+=+=∫∫∞+∞−b a x b ax dx bx a dx x p , 又324242)()()(1042102=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+⋅=+==∫∫∞+∞−b a x b x a dx bx a x dx x xp X E , 故2,31==b a .16.某工程队完成某项工程的时间X (单位:月)是一个随机变量,它的分布列为1.02.03.04.013121110PX(1)试求该工程队完成此项工程的平均月数;(2)设该工程队所获利润为Y = 50(13 – X ),单位为万元.试求该工程队的平均利润; (3)若该工程队调整安排,完成该项工程的时间X (单位:月)的分布为1.04.05.0121110PX则其平均利润可增加多少?解:(1)平均月数E (X ) = 10 × 0.4 + 11 × 0.3 + 12 × 0.2 + 13 × 0.1 = 11.(2)平均利润为E (Y ) = E [50 (13 – X )] = 150 × 0.4 + 100 × 0.3 + 50 × 0.2 + 0 × 0.1 = 100(万元); (3)因E (Y 1) = E [50 (13 – X 1)] = 150 × 0.5 + 100 × 0.4 + 50 × 0.1 = 120,有E (Y 1) – E (Y ) = 20,故平均利润增加20万元.17.设随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.,0π;0,2cos 21)(其他x x x p 对X 独立重复观察4次,Y 表示观察值大于π /3的次数,求Y 2的数学期望.解:Y 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4,因216πsin 2πsin2sin2cos 21}3π{π3ππ3π=−===>=∫x dx x X P p , 则161)1(}0{4=−==p Y P ,164)1(14}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ,166)1(24}2{22=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P , 164)1(34}1{3=−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==p p Y P ,161}4{4===p Y P , 故5168016141643166216411610)(222222==×+×+×+×+×=Y E . 18.设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<=.,0;20,83)(2其他x x x p 试求21X 的数学期望. 解:438383112020222==⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫dx dx x x X E .19.设X 为仅取非负整数的离散随机变量,若其数学期望存在,证明(1)∑+∞=≥=1}{)(k k X P X E ;(2))]()([21}{20X E X E k X kP k −=>∑+∞=.证:(1))(}{}{}{}{11111X E n X nP n X P n X P k X P n n nk k kn k =======≥∑∑∑∑∑∑+∞=+∞==+∞=+∞=+∞=;(2)∑∑∑∑∑∑+∞=+∞=−=+∞=+∞+=+∞==−=====>1111}{)1(21}{}{}{n n n k k k n k n X P n n n X kP n X P kk X kP)]()([21}{}{212112X E X E n X nP n X P n n n −=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=−==∑∑+∞=+∞=. 20.设连续随机变量X 的分布函数为F (x ),且数学期望存在,证明:∫∫∞−+∞−−=0)()](1[)(dx x F dx x F X E .证:设X 的密度函数为p (x ),有∫∫∫∞−+∞+∞∞−+==0)()()()(dx x xp dx x xp dx x xp X E ,因∫∫∫∫∫∫∫∫+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞⋅===⎟⎠⎞⎜⎝⎛=0000000)()()()()(y y x x x F dy dx x p dy dy x p dx dx x p dy dx x xp ∫∫+∞+∞−=−=0)](1[)](1[dx x F dy y F ,且∫∫∫∫∫∫∫∫∞−∞−∞−∞−∞−∞−∞−⋅−=−=−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=0000000)()()()()(yy x xx F dy dx x p dy dy x p dx dx x p dy dx x xp ∫∫∞−∞−−=−=00)()(dx x F dy y F ,故∫∫∞−+∞−−=0)()](1[)(dx x F dx x F X E .21.设X 为非负连续随机变量,若E (X n )存在,试证明:(1)∫+∞>=0}{)(dx x X P X E ;(2)∫+∞−>=01}{)(dx x X P nx X E n n .证:设X 的密度函数为p (x ),分布函数为F (x ),当x < 0时,p (x ) = 0,(1)∫∫∫∫∫∫∫∫+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞⋅===⎟⎠⎞⎜⎝⎛==0000000)()()()()()(y y x x x F dy dx x p dy dy x p dx dx x p dy dx x xp X E ∫∫+∞+∞>=−=0}{)](1[dx x X P dy y F ;(2)∫∫∫∫∫∫∫+∞+∞−+∞−+∞−+∞==⎟⎠⎞⎜⎝⎛==010010010)()()()()(y n xn x n n n dx x p ny dy dy x p ny dx dx x p dy ny dx x p x X E ∫∫∫+∞−+∞−+∞+∞−>=−=⋅=010101}{)](1[)(dx x X P nx dy y F ny x F ny dy n n yn .习题2.31. 设随机变量X 满足E (X ) = Var (X ) = λ ,已知E [(X − 1) (X − 2)] = 1,试求λ . 解:因E (X ) = Var (X ) = λ ,有E (X 2) = Var (X ) + [E (X )]2 = λ + λ 2 ,则E [(X − 1) (X − 2)] = E (X 2 – 3X + 2) = E (X 2) – 3E (X ) + 2 = λ + λ 2 – 3λ + 2 = λ 2 – 2λ + 2 = 1, 故 (λ – 1)2 = 0,即λ = 1.2. 假设有10只同种电器元件,其中有两只不合格品.装配仪器时,从这批元件中任取一只,如是不合格品,则扔掉重新任取一只;如仍是不合格品,则扔掉再取一只,试求在取到合格品之前,已取出的不合格品数的方差.解:设X 表示在取到合格品之前已取出的不合格品只数,X 的全部可能取值为0, 1, 2,则54108}0{===X P ,45898102}1{=×==X P ,4518891102}2{=××==X P , 得9245124581540)(=×+×+×=X E ,且154451245124581540)(2222==×+×+×=X E ,故4058892154)]([)()Var(222=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=X E X E X . 3. 已知E (X ) = –2,E (X 2) = 5,求Var (1 – 3X ).解:因Var (X ) = E (X 2) – [E (X )]2 = 5 – (–2) 2 = 1,故Var (1 – 3X ) = (–3)2 Var (X ) = 9 × 1 = 9. 4. 设P {X = 0} = 1 – P {X = 1},如果E (X ) = 3Var (X ),求P {X = 0}.解:因P {X = 0} + P {X = 1} = 1,有X 的全部可能取值为0, 1,设P {X = 1} = p ,P {X = 0} = 1 – p ,则E (X ) = 0 × (1 – p ) + 1 × p = p ,E (X 2) = 02 × (1 – p ) + 12 × p = p ,即Var (X ) = p – p 2,因E (X ) = 3Var (X ),有p = 3(p – p 2),可得2p – 3p 2 = 0,即32=p 或p = 0, 故311}0{=−==p X P 或1. 5. 设随机变量X 的分布函数为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥−<≤<=−−.1,e 211;10,21;0,2e )()1(21x x x x F x x试求Var (X ).解:因分布函数F (x ) 是连续函数,有X 为连续型,密度函数p (x ) = F ′(x ),当x < 0时,2e )()(xx F x p =′=,当0 < x < 1时,p (x ) = F ′(x ) = 0, 当x > 1时,)1(21e 41)()(−−=′=x x F x p ,则∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)12101)1(21e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x xp X E x x x x ,因1e 0e e )(e e 00000−=−=−⋅=⋅=∞−∞−∞−∞−∞−∫∫∫xx xx x dx x d x dx x ,6e42e2e2][e2e1)1211)1(211)1(211)1(211)1(21=−=+−=⋅−=+∞−−∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−∫∫∫x x x x x dx x d x dx x ,可得1641)1(21)(=×+−×=X E , 且∫∫∫∫∫∞+−−∞−∞+−−∞−∞+∞−+=⋅+⋅==1)1(212021)1(2120222e 41e 21e 412e )()(dx x dx x dx x dx x dx x p x X E x x x x因2e 202e e )(e e 00020202=−=⋅−⋅=⋅=∫∫∫∫∞−∞−∞−∞−∞−dx x xdx x d x dx x x x xx x ,∫∫∫∞+−−+∞−−∞+−−∞+−−⋅+−=⋅−=1)1(211)1(2121)1(2121)1(2122e2e2][e2exdx x d x dx x x x x x26642e421)1(21=×+=+=∫∞+−−dx x x ,可得2152641221)(2=×+×=X E , 故2131215)]([)()Var(222=−=−=X E X E X .6. 设随机变量X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤<−≤<−+=.,0;10,1;01,1)(其他x x x x x p试求Var (3X + 2).解:因061613232)1()1()()(13201321001=+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x xp X E , 且611211214343)1()1()()(14301431021222=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−++==−−∞+∞−∫∫∫x x x x dx x x dx x x dx x p x X E , 则61)]([)()Var(22=−=X E X E X , 故23619)Var(9)23Var(=×==+X X .7. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=.,0;10,)(2其他x bx ax x p如果已知E (X ) = 0.5,试计算Var (X ).解:由正则性得13232)()(132102=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+⋅=+=∫∫∞+∞−b a x b x a dx bx ax dx x p , 又5.04343)()()(143102=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅+⋅=+==∫∫∞+∞−b a x b x a dx bx ax x dx x xp X E ,则a = 6,b = −6,因3.056465646)66()()(154102222=−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅−⋅=−==∫∫∞+∞−x x dx x x x dx x p x X E , 故Var (X ) = E (X 2) − [E (X )]2 = 0.3 − 0.52 = 0.05.8. 设随机变量X 的分布函数为0,e 1)(2>−=−x x F x ,试求E (X )和Var (X ).解:因密度函数0,e 2)()(2>=′=−x x x F x p x ,故2πe e)e(e2)()(0002222=+−=−=⋅==∫∫∫∫∞+−+∞−∞+−∞+−∞+∞−dx x xd dx x x dx x xp X E x x x x ; 因∫∫∫∫+∞−+∞−+∞−+∞−+∞∞−⋅+−=−=⋅==02202222e e)e(e2)()(2222xdx x d x dx x x dx x p x X E x x x x1e002=−=+∞−x ,故4π12π1)]([)()Var(222−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−=X E X E X . 9. 试证:对任意的常数c ≠ E (X ),有Var (X ) = E (X – E (X ))2 < E (X – c )2.证:因E (X – c )2 = E (X 2 – 2cX + c 2) = E (X 2) – 2c E (X ) + c 2 = E (X 2) – [E (X )]2 + [E (X )]2 – 2c E (X ) + c 2= E (X – E (X ))2 + [E (X ) – c ]2 > E (X – E (X ))2 = Var (X ).10.设随机变量X 仅在区间 [a , b ] 上取值,试证a ≤ E (X ) ≤ b ,22)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤a b X .证:因X ≥ a ,有X – a ≥ 0,得E (X – a ) = E (X ) – a ≥ 0,即E (X ) ≥ a ,又因X ≤ b ,同理可得E (X ) ≤ b ,故a ≤ E (X ) ≤ b ;因a ≤ X ≤ b ,有222a b b a X a b −≤+−≤−−,得2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X , 则022222222≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E a b b a X E ,即2222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−a b b a X E ,故22222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=a b b a X E X E X E X .11.设随机变量X 取值x 1 ≤ … ≤ x n 的概率分别是p 1 , …, p n ,11=∑=nk k p .证明212)Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤x x X n .证:因x 1 ≤ X ≤ x n ,有222111x x x x X x x n n n −≤+−≤−−,得212122⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−x x x x X n n ,故2121212222))(()Var(⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−≤−=x x x x E x x X E X E X E X n n n .12.设g (x ) 为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数,且E (g (X )) 存在,证明:对任意的ε > 0,有)())((}{εεg X g E X P ≤>.注:此题应要求g (ε ) ≠ 0.证:以连续型随机变量为例加以证明,设连续型随机变量X 的密度函数为p (x ),因g (x ) 为非负不减函数,当x > ε 时,有g (x ) ≥ g (ε ) > 0,即1)()(≥εg x g , 故)())(()()()()()()()()()(}{εεεεεεεg X g E g X g E dx x p g x g dx x p g x g dx x p X P =⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=>∫∫∫∞+∞−∞+∞+. 13.设X 为非负随机变量,a > 0.若E (e aX)存在,证明:对任意的x > 0,有axaX E x X P e)(e }{≤≥. 证:以连续型随机变量为例加以证明,设连续型随机变量X 的密度函数为p(x ),故ax aX ax aX ax au xax auxE E du u p du u p du u p x X P e )(e e e )(e e )(e e )(}{=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=≤≤=≥∫∫∫∞+∞−∞+∞+. 14.已知正常成人男性每升血液中的白细胞数平均是7.3 × 10 9,标准差是0.7 × 10 9.试利用切比雪夫不等式估计每升血液中的白细胞数在5.2 × 10 9至9.4 × 10 9之间的概率的下界.解:设X 表示每升血液中的白细胞数,有E (X ) = 7.3 × 10 9,Var (X ) = (0.7 × 10 9) 2 = 0.49 × 10 18,则P {5.2 × 10 9 ≤ X ≤ 9.4 × 10 9} = P {–2.1 × 10 9 ≤ X – 7.3 × 10 9 ≤ 2.1 × 10 9} = P { | X – E (X ) | ≤ 2.1 × 10 9}989111041.41049.01)101.2()Var(1181829=−=××−=×−≥X , 故所求概率的下界为98.习题2.41. 一批产品中有10%的不合格品,现从中任取3件,求其中至多有一件不合格品的概率. 解:设X 表示取到的不合格品个数,有X 服从二项分布b (3, 0.1),故所求概率为972.09.01.0139.0}1{}0{}1{23=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+==+==≤X P X P X P . 2. 一条自动化生产线上产品的一级品率为0.8,现检查5件,求至少有2件一级品的概率. 解:设X 表示检查到的一级品个数,有X 服从二项分布b (5, 0.8),故所求概率为99328.02.08.0152.01}1{}0{1}2{45=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P . 3. 某优秀射手命中10环的概率为0.7,命中9环的概率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29环的概率.解:设X 表示三次射击所中的10环次数,有X 服从二项分布b (3, 0.7),故所求概率为784.07.03.07.023}3{}2{}2{32=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P .4. 经验表明:预定餐厅座位而不来就餐的顾客比例为20%.如今餐厅有50个座位,但预定给了52位 顾客,问到时顾客来到餐厅而没有座位的概率是多少?解:设X 表示到时来到餐厅的顾客人数,有X 服从二项分布b (52, 0.8),故所求概率为0001279.08.02.08.05152}52{}51{}51{5251=+××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+==≥X P X P X P .5. 设随机变量X ~ b (n , p ),已知E (X ) = 2.4,Var (X ) = 1.44,求两个参数n 与p 各为多少? 解:因X ~ b (n , p ),有E (X ) = np = 2.4,Var (X ) = np (1 – p ) = 1.44,有6.04.244.11==−p , 故p = 0.4,64.04.2==n . 6. 设随机变量X 服从二项分布b (2, p ),随机变量Y 服从二项分布b (4, p ).若P {X ≥ 1} = 8/9,试求P {Y ≥ 1}.解:因X 服从二项分布b (2, p ),有98)1(1}0{1}1{2=−−==−=≥p X P X P ,即32=p ,故8180311)1(1}0{1}1{44=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−−==−=≥p Y P Y P .7. 一批产品的不合格率为0.02,现从中任取40件进行检查,若发现两件或两件以上不合格品就拒收这批产品.分别用以下方法求拒收的概率: (1)用二项分布作精确计算; (2)用泊松分布作近似计算.解:设X 表示发现的不合格品个数,有X 服从二项分布b (40, 0.02),(1)所求概率为1905.098.002.014098.01}1{}0{1}2{3940=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−=−=≥X P X P X P ; (2)因n = 40较大,p = 0.02很小,取λ = np = 0.8,有)8.0(~P X &,故查表可得所求概率为191.0809.01}1{1}2{=−=≤−=≥X P X P .。