山东省威海市文登区2019-2020学年高三上学期期末
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1.已知集合2
{|230}A x Z x x =∈--≤，1
{|0}x B x x
+=>，若集合{|C x x A =∈且}x B ∉，则C =（ ） A. [1,0]-
B. [0,3]
C. {1,0}-
D. {0,1,2,3}
2.若复数z 满足(1)1z i i -=+，i 为虚数单位，则2019z =（ ） A. 1-
B. 1
C. i -
D. i
3.命题“2
[1,2],20x x a ∃∈-≥”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. 12
a <
B. 12
a ≤
C. 2a ≤
D. 3a ≤
4.在我国古代数学名著《孙子算经》的下卷中，记载这样一个问题：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；成六行纵队，则末行五人；成七行纵队，则末行四人；成十一行纵队，则末行十人，求兵数．试计算这些士兵可能有（ ） A. 2006
B. 2111
C. 2113
D. 2141
5.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，将角α的终边按逆时针方向旋转
π
4
后经过点
(，则tan α=（ ）
A. 3--
B. 3-+
C. 1-
D. 1
6.若函数||
()21()x m f x m +=-∈R 为偶函数，设0.30.2(2),(log 3),(2)m a f b f c f ===，则,,a b c 的大小
关系为（ ） A. a c b <<
B. a b c <<
C. c b a <<
D. b a c <<
7.二项式2()n
x x
-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ）
A. 160-
B. 80-
C. 80
D. 160
8.已知函数22,0
()log (1),0
x x x f x x x ⎧-+<=⎨+≥⎩，若|()|2f x ax ≥，则实数a 的取值范围是（ ）
A. (,0]-∞
B. [1,0]-
C. [1,1]-
D.
1[,0]2
-
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9.下图为某省高考数学理科试卷近三年难易程度的对比图（图中数据为分值）．根据对比图，下列结论正确的有（ ）
A. 近三年容易题分值逐年增加
B. 近三年难题分值逐年减少
C. 近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D. 2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
10.如图，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为1的等边三角形，侧棱长为2，,D E 分别是1,BB AC 的中点，则下列结论成立的是（ ）
A. 直线CD 与11B C 是异面直线
B. 直线BE 与平面1A CD 平行
C. 直线AC 与直线1A D 所成角的余弦值为
2
4
D. 直线CD 与平面11AAC C 所成角的余弦值为
4
11.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(3)(1)f x f x +=-，若当[0,2]x ∈时，()21x f x =-，则下列结论正确的是（ ）
A. 当[2,0]x ∈-时，()21x f x -=-
B. (2019)1f =
C. ()y f x =的图像关于点(2,0)对称
D. 函数2()()log g x f x x =-有3个零点
12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线过点P ，F 为C 的右焦点，则下列结论正
确的是（ ）
A. C 的离心率为
2
B. C 的渐近线方程为0x =
C. 若F 到C ，则C 的方程为22
142
x y -=
D. 设O
坐标原点，若||||PO PF =,则2
POF S ∆=
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．
13.已知单位向量,m n 的夹角为
23
π
，则|3|m n +=________． 14.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，cos b C 与cos c B 的等差中项为cos a B ．则
B =________；若5a c +=，AB
C 的面积S =b =________．
15.已知圆2
2
:4440C x y x y +--+=，抛物线2
:2(0)E y px p =>过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得弦长为________________．
16.已知三棱锥S ABC -内接于半径为4球中，SA ⊥平面ABC ，45BAC ∠=，BC =锥S ABC -体积的最大值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.在①()f x 的图像关于直线56x π
ω
=
对称，②()cos f x x x ωω=，③()(0)f x f ≤恒成立这三个
条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的ω存在，求出ω的值，若ω不存在，请说明理由． 设函数()2cos()(0,0)2
f x x π
ωϕωϕ=+>≤≤，________，是否存在正整数ω，使得函数()f x 在[0,]2π
上
是单调
的
？
18.已知各项都为正数的数列{}n a 满足14a =，2
11(21)20n n n n a a a a ++---=．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足*
(25)cos ()n n b a n n n N =+-∈π，求数列{}n b 的前2n 项和．
19.已知正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，D 为AC 的中点．
（1）当11
2
AE EA =
时，求证：1DE BC ⊥； （2）在线段1AA 上是否存在点E ，使二面角A BE D --等于30？若存在求出AE 的长；若不存在，请说明理由．
20.某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核为优秀．现获得该公司
20112018-年的相关数据如下表所示：
年份 2011 2012 2013 2014 2015
2016
2017 2018
年生产台数
（万台）
2 3 4 5 6 7 10 11
该产品的年利润
（百万元） 2.1
2.75
3.5 3.25 3
4.9 6 6.5
年返修台数（台） 21 22 28 65 80 65 84 88
注：=
年返修台数
年返修率年生产台数
．
（1）从该公司20112018-年的相关数据中任意选取4年的数据，以ξ表示4年中生产部门考核为优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；
（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y （百万元）关于年生产台数x （万台）的线性回归方程（精确到0.01）．
参考公式：回归方程y bx a =+，其中1
1
21
2
2
1
(ˆ()())
n n
i
i
i i
i i n
n
i
i
i i x y x x y x y n x y
b
x x
x
n ====---==
--∑∑∑∑
ˆˆa
y bx =-． 参考数据：81168i i x x ===∑，8
1148i i y y ===∑，81()()34.5i i i x x y y =--=∑，8
1()18.045i i y y =-=∑，
8
2
1
()
72i
i x x =-=∑．
21.已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦距为2
，一个顶点在抛物线2y =的准线上．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）过右焦点2F 做斜率存在的
直线l ，交椭圆于A B 、两点．
（i ）已知点1(0,)2
M ，是否存在直线l ，使||||MA MB =？若存在，求直线l 方程；若不存在，说明理由； （ii ）若O 为坐标原点，求ABO
S
的取值范围．
22.已知函数()2ln f x x x x =+．
（1）若直线l 过点(0,2)-，且与曲线()y f x =相切，求直线l 的方程； （2）若1x ∀>时，()0f x kx k -+>成立，求整数k 的最大值．。