第7章 勒让德多项式在第三章中我们介绍了一类特殊函数—贝塞尔函数，我们利用贝塞尔函数给出了平面圆域上拉普拉斯算子特征值问题的解，从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题。

为求解空间中球形区域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题，需要引入另一类特殊函数—勒让德（Legendre ）多项式，用于求解空间中球形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。

需要说明的是勒让德多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题的重要工具，在自然科学的其它领域也有许多的应用。

§7⋅1勒让德多项式本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题，为分离变量法的进一步应用作准备。

7．1.1 勒让德方程及勒让德多项式 考虑如下二阶常微分方程2[(1)]0d dyx y dx dxλ-+=，11x -<< (7.1.1) 其中0λ≥为常数，方程(7.1.1)称为勒让德方程。

设α是非负实数，使得(1),λαα=+则方程（7.1.1）可表示成如下形式2(1)2(1)0x y xy y αα'''--++=，11x -<< （7.1.2） 方程（7.1.2）满足第3章中定理3.1的条件，其中222(1)(), ()11x p x q x x x αα+=-=-- 故（7.1.2）在区间(1,1)-有解析解，设其解为0()k k k y x a x ∞==∑ （7.1.3）其中(0)k a k ≥为待定常数。

将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得22121(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a xx ka xa x αα∞∞∞--===---++=∑∑∑或20(1)(2)(1)2(1)0kkkkk k k kk k k k k k ax k ka x ka x a x αα∞∞∞∞+====++---++=∑∑∑∑ 即20[(1)(2)()(1)]0k k k k k k a k k a x αα∞+=+++-++=∑比较两端k x 的系数，可得2(1)(2)()(1)0, 0k k k k a k k a k αα++++-++=≥ 由此式可得系数递推关系2()(1), 0(1)(2)k k k k a a k k k αα+-++=-≥++ （7.1.4）当系数k a 指标分别取偶数和奇数时，（7.1.4）可表示为22(1)(22)(21), 1(21)2k k k k a a k k k αα--++-=-≥-212(1)1(21)(2), 12(21)k k k k a a k k k αα+-+-++=-≥+连续使用上述递推关系可知，当1k ≥时20(2)(22)(1)(3)(21)(1)(2)!k k k k a a k αααααα-⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+-=-211(1)(3)(21)(2)(4)(2)(1)(21)!k k k k a a k αααααα+--⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=-+记220k k a c a =，21211k k a c a ++=, 可得勒让德方程(7.1.2)的如下两个解2,120()kk k y x c x α∞==∑, 21,2210() k k k y x c x α∞++==∑ （7.1.5）其中011c c ==。

显然，,1()y x α与,2()y x α线性无关，它们构成了勒让德方程(7.1.2)的基解组。

因此勒让德方程的通解为0,11,2()()+ ()y x a y x a y x αα= 其中01,a a 为任意常数。

当0α≥不为整数时，由于对0k ∀≥，2k c 和21k c +都不等于零，所以,1()y x α和,2()y x α都是无穷级数, 称为α阶勒让德函数。

根据第3章定理3.1，级数,1()y x α和,2()y x α在区间(1,1)-内均处处收敛。

进一步可证明[8]，这两个无穷级数在端点1x =±是发散的, 而且发散到无穷大。

当α为非负整数n 时，由( 0)k c k ≥的表达式易见：若n 为偶数，则当 2k n >时，20 k c =；若n 为奇数，则当21k n +>时，210k c +=。

因此，当α为非负整数n 时，,1()n y x 和,2()n y x 中必有一个退化为n 次多项式，而另一个仍是无穷级数。

如果选择常数a ，使其中的n 次多项式与a 之积的首项系数(即n x 的系数)等于2(2)!2(!)n n n ，那么相乘所得的n 次多项式就称为n 阶勒让德多项式, 记为()n P x 。

这时，,1,2{(), ()}n n y x y x 中的另一个无穷级数称为第二类n 阶勒让德函数, 记为()n Q x 。

()n Q x 在区间(1,1)-内处处收敛, 但在端点1x =±发散，而且发散到无穷大(参看参考文献[8])。

总结上述，我们有如下结论。

定理7.1 对任意非负实数(1)λαα=+，其中0α≥，勒让德方程（7.1.1）在区间(1,1)-上存在由（7.1.5）所示的两个线性无关解。

当α不为整数时，级数,1()y x α和,2()y x α在端点1x =±发散到无穷大。

当且仅当α为非负整数n 时, 勒让德方程（7.1.1）存在有界解。

而且，当α为非负整数n 时，勒让德方程（7.1.1）的有界解由n 阶勒让德多项式()n P x 表示（即由()n P x 线性表示），另一个与()n P x 线性无关的解可由第二类n 阶勒让德函数()n Q x 表示，()n Q x 在区间(1,1)-上是无界的。

定理7.1表明，当α为非负整数n 时，勒让德方程（7.1.1）的通解可表示为12()()()n n y x c P x c Q x =+勒让德多项式不仅可用于求解勒让德方程，还可以用来求解其它相关的微分方程。

考虑如下微分方程222d d [(1)]()0, 11d d 1z m x z x x x xλ-+-=-<<- （7.1.6） 其中m 为正整数，(1)λαα=+，0α≥。

（7.1.6）称为勒让德伴随方程。

对(7.1.6)中方程作变量代换：22(1)()m z x u x =-，直接计算可得()u x 满足如下方程2(1)2(1)[(1)]0x u m xu m m u λ'''--++-+= （7.1.7）对勒让德方程（7.1.2）两边关于x 求m 阶导数得2(2)(1)()(1)()()(1)2(1)220m m m m m m x y mxy m m y xy my y λ+++------+=整理可得2(2)(1)()(1)2(1)[(1)]0m m m x y m xy m m y λ++--++-+= （7.1.8）比较（7.1.7）和（7.1.8）可知，()m u y =是（7.1.7）的解，而y 是勒让德方程（7.1.2）的解。

因此，（7.1.7）的通解为()()1,12,2()()()m m u x c y x c y x αα=+ 其中,1()y x α和,2()y x α由（7.1.5）给出。

由变换22(1)()mz x u x =-可知, 方程（7.1.6）的通解为2()2()221,12,2()(1)()(1)()m mm m z x c x yx c x y x αα=-+- （7.1.9）由定理7.1知, 仅当(1)n n λ=+，勒让德伴随方程（7.1.6）有有界解2()2()(1)()m m n z x x P x =- （7.1.10）需要说明的是，利用（7.1.5）可建立勒让德多项式()n P x 的具体表达式，但我们有更好的技巧来研究()n P x 的性质，请看节7.1.2和7.1.3的讨论。

7.1.2 勒让德多项式的生成函数和递推公式勒让德多项式和三维拉普拉斯方程基本解有密切的联系。

在第五章中已经知道，三维拉普拉斯方程基本解为001(,)4P P P P r πΓ=其中0(,,)P ξηζ是任意给定的点, 点3(,,)P x y z R ∈, 00||P P r P P =。

0(,,)(,)u x y z P P Γ=表示在0(,,)P ξηζ处放置的单位正电荷在(,,)P x y z 处产生的电位。

可验证当0(,,)(,,)P x y z P ξηζ≠时, (,,)u x y z 满足三维拉普拉斯方程0u ∆=。

若记 00,r OP r OP ==，0OP 和OP 的夹角为ϕ，由余弦定理可得0p p r =故有0001, 1, 1.p pr r r r r ρρ=⎧=<⎪⎪=⎨=< 引入函数(,)x ψρ，其定义如下122(,)(12), 0,1x x x ψρρρρ-==+-≥≤（7.1.10）由于20(2)0x ρρρ=-=，所以(,)x ψρ可在0ρ=的某一邻域展成Taylor 级数。

利取12α=-时二项式Taylor 级数公式可得122222232(12)1351(2)(2)(2)2816(1)(1) +(2)!n x x x x x n x n ψρρρρρρρρραααρρ-=+-=--+---+--+-+（，）（7.1.11）将（7.1.11）中2(2)n x ρρ-展开，注意到对任意正整数n ，含n ρ的项均来自于（7.1.11）中的前n 项，故n ρ的系数至多为变量x 的一个n 次多项式。

可以证明[2]n ρ的系数就是勒让德多项式()n P x ，即对于任意的[1,1]x ∈-，有(,)()n n n x P x ψρρ∞==∑。

（7.1.12）由于勒让德多项式()n P x 可由（7.1.12）确定，就称函数(,)x ψρ为勒让德多项式的生成函数或叫母函数,利用该函数可以得到勒让德多项式的一些性质。

下面利用(7.1.12)式推导勒让德多项式的递推公式。

利用（7.1.10）对(,)x ψρ关于ρ求导，易得下面一阶微分方程2(,)(12)()(,)x x x x ψρρρρψρρ∂+-=-∂ （7.1.13） 将（7.1.12）代入到（7.1.13）中得2100(12)()()()n n n n n n x nP x x P x ρρρρρ∞∞-==+-=-∑∑整理可得110(1)()(21)()()0nnn n n n n n n n Px n xP x nP x ρρρ∞∞∞+-===+-++=∑∑∑令n ρ的系数为零便得11(1)()(21)()()0, 0n n n n P x n xP x nP x n +-+-++=≥ （7.1.14）（7.1.14）称为勒让德多项式的递推公式。