一、解答题
1．在中，已知角、、的对边分别为，，且.
（1）求的值；
（2）若，求面积的最大值.
【答案】(1).（2）.
【解析】分析：（1）应用正弦、余弦定理化简，即可求出b的值；（2）先由B的余弦定理可得：，再结合基本不等式
，即，即可得出结论.
点睛：考查正余弦定理的应用、基本不等式求最值，对题意的正确分析和定理的灵活运用是解关键，属于基础题.
2．的内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为.（1）求；
（2）若为中点，且，求的最大值.
【答案】(1).(2).
【解析】分析：（1）先设面积公式，化角为边，整理
求出C。

（2）利用余弦定理列出中线在中，在中的表达式，由两角互补化简两组表达式，得出的关系式，再用均值不等式求解最值。

（2）在中，
，即，
在中，
，即.
因为，所以，
所以，
由（1）及得，，所以，
所以，即，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
解法二：（1）同解法一.
因为，，所以，即.
因为为中点，所以，
所以
，
当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为.
点睛：（1）三角恒等式的化简有两种化边为角或者化角为边。

（2）三角形的中线问题，利用中线位于两个三角形中且底角互补，化简整理出中线与三角形三边关系的表达式。

3．在中，分别是内角所对的边，向量，
,且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，设角的大小为，的周长为，求的最大值.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【详解】
（1）因为a b，所以.
由正弦定理得，即.
由余弦定理得，又因为，所以.
（2）由，及正弦定理得，
而，，则，，
于是，
由得，所以当即时，.
【点睛】
本题考查三角函数的化简求值，向量的数量积、余弦定理、正弦定理的应用，考查计算能力．属中档题.
4．在中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) 的取值范围为.
【解析】
【详解】
（Ⅰ）因为，
所以，由正弦定理，得，
所以，又因为，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以，
所以
，
，因为，所以，
所以当时，取得最大值；
当时，.
所以的取值范围为
【点睛】
（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角之间的转化，以达到求解的目的．
（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的大小，这点容易被忽视，解题时要注意．
5．设函数．
(Ⅰ) 求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
(Ⅱ) 已知中，角、、的对边分别为、、．若，，求的最小值．
【答案】（1）2，（2）1
【详解】
的最大值为
要使取得最大值时，则，
故的集合为
【点睛】
本题是道三角函数综合题目，运用二倍角、辅助角公式进行化简，求出最大值时的集合，并结合余弦定理和基本不等式求出最值。

6．设三个内角所对的变分别为已知
(1)求角的大小；
(2)如图，在的一个外角内去一点，使得，过点分别作直线的垂线，垂足分别为.设,求的最大值及此时的取值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）由，利用余弦定理可得：
化为：．可得，进而得出．
（2）在中，．同理可得
，化简整理利用三角函数的单调性即可得出．
【点睛】
本题考查了解三角形、余弦定理、勾股定理的逆定理、和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。