福建省华安县第一中学2020-2021届高三数学高职招考第二次（12月）月考试题考试时间120分钟，满分150分参考公式：样本数据12,,...,n x x x 的标准差 锥体体积公式s =222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦ (13)V Sh = 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V Sh =24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共70分）一．单项选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．在每小题给出的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则∁U M 等于（ ） A ．∅ B ．{1} C ．{2} D ．{1，2}2．函数的定义域是（ ）A ．[﹣2，2]B ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）3．若a ，b ，c 均为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是（ ） A ．a+c ＜b+c B ．ac ＜bc C ．a 2＜b 2 D ．4．等差数列{a n }中，a 1=﹣5，a 3是4与49的等比中项，且a 3＜0，则a 5等于（ ） A ．﹣18 B ．﹣23 C ．﹣24 D ．﹣32 5．命题甲：2x =-是命题乙：24x =的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.直线70ax y ＋＋＝与 430x ay ＋－＝平行，则a 为（ ）A ．2B ．2或2- C.2- D ．12-7.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取（ ）件．A ．24B ．18 C.12 D ．6 8.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b 的值为（ ）A ．2B ．3 C.2 D ．3 9.函数()222y sin x cos x =-的最小正周期是（ ） A ．2π B ．π C.2π D ．4π 10．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（ ） A ．72 B ．120 C ．144 D ．288 11．如果，，那么等于（ ）A ．﹣18B ．﹣6C ．0D ．1812.若 x ， y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则x 2y +的最大值为（ ）A ．1B ．3 C.5 D ．913.若20件产品中有16件一级品，4件二级品．从中任取2件，这2件中至少有1件二级品的概率是（ ） A ．41190 B ．3295 C.719 D ．39514.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x 20y -=，则它的离心率为（ ）A 5．52C.5．2第Ⅱ卷（非选择题 共80分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上） 15．若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥的侧面积等于 ． 16．在△ABC 中，a=2，b=3，∠B=2∠A ，则cosA= ． 17．已知F 1，F 2是椭圆+=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于P 、Q 两点，则△PQF 2的周长等于 ．18．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．(8分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求数列{}n b 的前n 项和公式．20.（8分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3b =，6AB AC ⋅=-，3ABC S ∆=，求A 和a ．21.（10分）已知双曲线的中心在坐标原点，焦点 1F ，2F 在坐标轴上，离心率为2，且过点(2,2)-．（1） 求双曲线的标准方程；（2） 若点P 在第一象限且是渐近线上的点，当12PF PF ⊥时，求点P 的坐标．22．(10分）已知函数．（1）求该函数的最小正周期； （2）求该函数的单调递减区间；23.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，//AB DC ，DC AC ⊥． （1）求证：DC ⊥平面PAC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（3）设点E 为AB 的中点，点F 为PB 中点，求证//PA 平面CEF ．24．（12分）某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜，保险公司提供了缴纳保险费的两种方案：①一次性缴纳50万元，可享受9折优惠；②按照航行天数交纳：第一天缴纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天．请通过计算，帮助王亮同学判断那种方案交纳的保费较低．华安一中2020-2021届高职单招第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分,共70分）1-5．C ．D ．A .B . A 6-10. B B D C D 11-14. A D A A 二、填空题：（每小题5分，共20分） 15． 3π ．16.．17. 24 ．18. 92π .三、解答题（6题，共60分）19.（8分）解：（1） 由等差数列通项公式得：112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得：10a =-，2d =， -------------------2分 所以1(1)n a a n d =+-102(1)n =-+-212n =-即数列{}n a 的通项公式：212n a n =- ---------------------------4分（2）因为108624b =---=-，212438b q b -===-，所以 1(1)4(13)1n n n a q S q -==--∴ 数列{}n b 的前n 项和公式：4(13)nn S =-．-----------------------8分20.（8分）解：因为6AB AC ⋅=-，所以cos 6b c A ⋅⋅=-，即cos 2c A ⋅=-；-----2分又因为1sin 32ABC S b c A ∆=⋅⋅=，所以sin 2c A ⋅=， 所以sin tan 1cos c AA c A ⋅==-⋅，所以135A =︒；--------------------------4分由1sin 32ABC S b c A ∆=⋅⋅=，所以13sin13532c ⨯⨯⨯︒=，得22c =因为2222cos a b c b c A =+-⋅⋅2982622(29=+-⨯⨯=， 所以29a = -----------8分 21.（10分）（12，所以是等轴双曲线，∴设双曲线方程为22x y k -=， 将点(2,2)-代入方程得：2k =， 所以222x y -=，双曲线方程为：22122x y -=． ----------------------5分 （2）因为等轴双曲线的渐近线方程为y x =±，点P 在第一象限且是渐近线上的点，∴设点P 坐标为(,)m m ， ∵等轴双曲线2a b ==，所以2c =，不妨设1(2,0)F -2(2,0)F ），所以1(2,)PF m m =---，2(2,)PF m m =--， 又因为12PF PF ⊥，所以120PF PF ⋅=， 所以(2)(2)()()0m m m m ---+--=， 解得2m =±（舍去负值），所以点P 的坐标为(2,2)． ------------------------------10分22.（10分） 解：（1）∵=3sin （2x ﹣），----------4分∴函数的最小正周期T==π． ----------------------------------5分 （2）∵令2kπ+≤2x ﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+≤x ≤kπ+，k∈Z，∴函数的单调递减区间为：[kπ+，kπ+]，k∈Z， -------------10分23.（12分）证明：（1）PC ⊥面ABCD ，DC ⊂面ABCD ，所以PC DC ⊥，DC AC ⊥且PC AC C ⋂=，所以DC ⊥面ABCD ． ---------------4分（2）∵//AB DC ，DC AC ⊥，∴AB AC ⊥． 又∵PC ⊥面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，∴AB PC ⊥， 又PC AC C ⋂=， ∴AB ⊥PAC ， 又AB ⊂面PAB ，∴面PAC ⊥面PAB ． ----------------------8分 （3）在PAB ∆中，E 为AB 中点，F 为PB 中点， ∴//EF PA ，又 ∵EF ⊂面CEF ，PA ⊄面CEF ，∴ //PA 面CEF ． --------------12分24．（12分）解：若按方案①缴费，需缴费50×0.9=45万元；-----------------6分 若按方案②缴费，则每天的缴费额组成等比数列，其中a 1=，q=2，n=20，∴共需缴费S 20===219﹣=524288﹣≈52.4万元，∴方案①缴纳的保费较低． 12分。