函数与导数（理科数学）1、对于R 上的可导函数()f x ，若满足/(1)()0x f x -≥，则必有（C ） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>2、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x -≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C )A.()()af a f b ≤B.()()bf b f a ≤C.()()af b bf a ≤D.()()bf a af b ≤3、()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足/()()0xf x f x +≤对任意正数,a b .若a b <则必有( C )A 、()()af a f b ≤B 、()()bf b f a ≤C 、()()af b bf a ≤D 、()()bf a af b ≤4、记{}⎩⎨⎧>≤=q p q qp p q p 当当.,,min ．若函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min )(，则函数)(x f 的解析式_______________.2)(<x f 的解集为_________________.答案：（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=x x x f 241log ,log 3min )(=⎪⎩⎪⎨⎧>+≤++x x x xx x 241224141log log 3,log log log 3,log 3 3分解x x 241log log 3=+得4=x ．又函数x y 411log 3+=在),0(+∞内递减，x y 22log =在),0(+∞内递增，所以当40<<x 时，x x 241log log 3>+；当4≥x 时，x x 241log log 3≤+．所以⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<=4,log 340,log )(412x x x x x f ．（2）2)(<x f 等价于：⎩⎨⎧<<<2log ,402x x ①或⎪⎩⎪⎨⎧<+≥2log 3,441x x ②．解得：440><<x x 或，即2)(<x f 的解集为),4()4,0(+∞Y ．5、设函数323()(1)1,32a f x x x a x a =-+++其中为实数。

（1）已知函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）已知不等式'2()1f x x x a >--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围。

解: (1) '2()3(1)f x ax x a =-++，由于函数()f x 在1x =时取得极值，所以 '(1)0f = 即 310,1a a a -++==∴(2) 方法一由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，设 22()(2)2()g a a x x x a R =+--∈, 则对任意x R ∈，()g a 为单调递增函数()a R ∈，所以对任意(0,)a ∈+∞，()0g a >恒成立的充分必要条件是(0)0g ≥，即 220x x --≥，20x -≤≤∴， 于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤方法二 由题设知：223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22(2)20a x x x +-->对任意(0,)a ∈+∞都成立，于是2222x xa x +>+对任意(0,)a ∈+∞都成立，即22202x xx +≤+20x -≤≤∴于是x 的取值范围是}{|20x x -≤≤ 6、已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点。

（1）证明：275c -<<；（2）若存在实数c ，使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，求a 的取值范围。

解：（1）因为函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点, 所以32()390f x x x x c '=+-+=有三个互异的实根.设32()39,g x x x x c =+-+则2()3693(3)(1),g x x x x x '=+-=+-当3x <-时，()0,g x '>()g x 在(,3)-∞-上为增函数;当31x -<<时，()0,g x '< ()g x 在(3,1)-上为减函数;当1x >时，()0,g x '> ()g x 在(1,)+∞上为增函数;所以函数()g x 在3x =-时取极大值,在1x =时取极小值. 当(3)0g -≤或(1)0g ≥时,()0g x =最多只有两个不同实根.因为()0g x =有三个不同实根,所以(3)0g ->且(1)0g <. 即2727270c -+++>,且1390c +-+<,解得27,c >-且5,c <故275c -<<. （2）由（I ）的证明可知，当275c -<<时, ()f x 有三个极值点. 不妨设为123x x x ，，（123x x x <<），则123()()()().f x x x x x x x '=--- 所以()f x 的单调递减区间是1(]x -∞，,23[,]x x 若)(x f 在区间[],2a a +上单调递减，则[],2a a +⊂1(]x -∞，, 或[],2a a +⊂23[,]x x ,若[],2a a +⊂1(]x -∞，,则12a x +≤.由（I ）知，13x <-,于是 5.a <-若[],2a a +⊂23[,]x x ,则2a x ≥且32a x +≤.由（I ）知，23 1.x -<<又32()39,f x x x x c '=+-+当27c =-时，2()(3)(3)f x x x '=-+;当5c =时，2()(5)(1)f x x x '=+-.因此, 当275c -<<时，31 3.x <<所以3,a >-且2 3.a +≤即3 1.a -<<故5,a <-或3 1.a -<<反之, 当5,a <-或31a -<<时，总可找到(27,5),c ∈-使函数)(x f 在区间[],2a a +上单调递减.综上所述, a 的取值范围是(5)(3,1)-∞--U ，. 7、设函数2132()x f x x eax bx -=++，已知2x =-和1x =为()f x 的极值点．（1）求a 和b 的值； （2）讨论()f x 的单调性； （3）设322()3g x x x =-，试比较()f x 与()g x 的大小． 解：（1）因为122()e (2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++，又2x =-和1x =为()f x 的极值点，所以(2)(1)0f f ''-==，因此6203320a b a b -+=⎧⎨++=⎩，，解方程组得13a =-，1b =-．（2）因为13a =-，1b =-，所以1()(2)(e1)x f x x x -'=+-，令()0f x '=，解得12x =-，20x =，31x =．因为当(2)x ∈-∞-，(01)U ，时，()0f x '<；当(20)(1)x ∈-+∞U ，，时，()0f x '>． 所以()f x 在(20)-，和(1)+∞，上是单调递增的；在(2)-∞-，和(01)，上是单调递减的． （3）由（Ⅰ）可知21321()e 3x f x x x x -=--，故21321()()e (e )x x f x g x x x x x ---=-=-， 令1()ex h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=，得1x =，因为(]1x ∈-∞，时，()0h x '≤，所以()h x 在(]1x ∈-∞，上单调递减．故(]1x ∈-∞，时，()(1)0h x h =≥；因为[)1x ∈+∞，时，()0h x '≥，所以()h x 在[)1x ∈+∞，上单调递增．故[)1x ∈+∞，时，()(1)0h x h =≥．所以对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()0h x ≥，又20x ≥，因此()()0f x g x -≥，故对任意()x ∈-∞+∞，，恒有()()f x g x ≥． 8、设函数432()2()f x x ax x b x =+++∈R ，其中a b ∈R ，．（1）当103a =-时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()f x 仅在0x =处有极值，求a 的取值范围；（3）若对于任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，求b 的取值范围． （1）解：322()434(434)f x x ax x x x ax '=++=++．当103a =-时， 2()(4104)2(21)(2)f x x x x x x x '=-+=--．令()0f x '=，解得10x =，212x =，32x =． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，，(2)+，∞内是增函数，在(0)-∞，，122⎛⎫ ⎪⎝⎭，内是减函数． （2）解：2()(434)f x x x ax '=++，显然0x =不是方程24340x ax ++=的根．为使()f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥恒成立，即有29640a ∆=-≤． 解此不等式，得8833a -≤≤．这时，(0)fb =是唯一极值． 因此满足条件的a 的取值范围是8833⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．（3）解：由条件[]22a ∈-，可知29640a ∆=-<，从而24340x ax ++>恒成立．当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．因此函数()f x 在[]11-，上的最大值是(1)f 与(1)f -两者中的较大者． 为使对任意的[]22a ∈-，，不等式()1f x ≤在[]11-，上恒成立，当且仅当(1)1(1)1f f ⎧⎨-⎩≤，≤， 即22b a b a--⎧⎨-+⎩≤，≤ 在[]22a ∈-，上恒成立．所以4b -≤，因此满足条件的b 的取值范围是(]4--∞，． 9．设函数()(1)ln(1),(1,0)f x x a x x x a =-++>-≥ （1）求()f x 的单调区间；（2）当1a =时，若方程()f x t =在1[,1]2-上有两个实数解，求实数t 的取值范围； 解析：（1）/()1ln(1)f x a x a =-+-①0a =时，/()0f x > ∴()f x 在（—1，+∞）上是增函数 ②当0a >时，()f x 在1(1,1]a ae---上递增，在1[1,)a ae--+∞单调递减.（2）由（Ⅰ）知，()f x 在1[,0]2-上单调递增，在[0,1]上单调递减 又111(0)0,(1)1ln 4,()ln 2222f f f ==--=-+ ，∴1(1)()02f f --<∴当11[,ln 2,0)22t ∈-+时，方程()f x t =有两解10.设函数()323,()ln (,)f x ax ax g x bx x a b R =-=-∈（1）求b 的值；（2）若函数(),0()(),0f x x F x g x x ≤⎧=⎨>⎩，且方程()2F x a =解：（1）()()2'33'10f x ax a f =-⇒=，()1'2'g x bx g x=-⇒依题意：210b -=，所以12b =；（2）()0,1x ∈时，()'g x x =()1'0g x x x =->，所以当1x =时，()g x 取极小值()112g =；当0a =时，方程()2F x a =不可能有四个解；当0a <时，(),1x ∈-∞-时，()'0f x <，()1,0x ∈-时()'0f x >，所以1x =-时，()f x 取得极小值()'1f -=2a ，又()00f =以()F x 的图像如下：从图像可以看出()2F x a =不可能有四个解。