运用刚体定轴转动定律解题转动定律描述刚体定轴转动中的瞬时关系，常常用来求解角加速度，一般步骤为：1) 隔离物体：即明确研究对象。
2) 具体分析：分析所选定的定轴刚体的受力情况和运动情况，画出受力图。
3) 选定坐标：在惯性系中建立一维坐标，即在转轴上选择正方向。
4) 建立方程：用转动定律列出定轴刚体的运动微分方程。
5) 要特别注意方程中的力矩、转动惯量必须对同一轴而言。
还要注意此方程是标量式，式中各量均为代数量，与所选正方向同向的力矩和角速度为正，反之为负。
6) 求解讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。
请注意常常与转动定律相联系的综合性问题：与刚体定轴转动或质点圆周运动的运动学问题相联系。
刚体定轴转动与质点平动相联系（例如滑轮两边悬挂物体）。
处理方法仍然是隔离法，对定轴刚体用转动定律列方程，对平动质点用牛顿第二定律列方程，二者之间用角量与线量的关系联系起来，求解方程组。
运用角动量定理或角动量守恒定律解题因为对定轴转动的刚体，其总动量往往并无实际意义（例如定轴转动滑轮的总动量为零），所以只能用角动量对其整体机械运动量进行量度。
在力矩持续作用一段时间的问题中，则用角动量定理取代平动问题中的动量定理。
对于平动质点和定轴刚体组成的系统，既可以对于系统整体运用角动量定理，也可以分别对平动质点运用动量定理，对定轴刚体运用角动量定理，再用力矩表达式将二者联系起来。
运用角动量定理或角动量守恒定律解题的一般步骤与运用动量定理或动量守恒定律求解平动问题类似，只不过用角量取代相应的线量：1. 选系统：即确定研究对象。
2. 建坐标:选取惯性系，确定参考点或转轴。
3. 选过程：即选取一定的时间间隔，确定系统的初、末态。
对于综合性问题，可以划分为几个互相衔接的阶段处理。
4. 算力矩：画出对所选定的参考点或转轴力矩不为零的外力，无须分析系统内力和对参考点或转轴力矩为零的外力。
5. 列方程：如果不满足角动量守恒条件，运用角动量定理列方程：对固定点：对定轴：如果满足角动量守恒条件，运用角动量守恒定律列方程：对固定点：对定轴：6. 求解并讨论：求解方程，理解和讨论结果的物理意义。
请特别注意：请注意在某一过程中角动量守恒，不仅指该过程始、末状态的角动量相等，而且要求整个过程中任意两个瞬间系统角动量的大小、方向都不变。
所以，角动量守恒条件是系统所受的合外力矩为零，而不是合外力矩的角冲量为零。
请注意方程中的力矩、角动量均应该对同一参考点或转轴而言。
在对固定点的方程中要注意其矢量性，在对定轴的方程中要注意其正、负号。
请特别注意区分系统动量守恒和角动量守恒的条件。
例如，区分图5.4中的两种不同的冲击摆：在图5.4（a）中，m、M系统的动量及对O的角动量均守恒。
而在图5.4（b）中，轴O对系统的约束力不能忽略，但该约束力对O轴的力矩为零，所以，系统所受合外力不为零，系统总动量不守恒；系统所受对O轴的合外力矩为零，对O轴的角动量守恒。
角动量守恒定律[典型例题]例7-1. 如图所示，质点P 的质量为2kg ，位置矢量为r,速度为v ，它受到力F 的作用这三个矢量均在OXY 面内，且r=3.0m,v=4.0m/s, F=2N , 则该质点对原点O 的角动量L = __________。
作用在质点上的力对原点的力矩M =____________。
解：v m L ⨯=γ⇒s m kg mv L /1230sin 20⋅==γ F M ⨯=γ⇒ m N F M ⋅==0.330sin 0γ例7-2．一人坐在转椅上，双手各持一哑铃，哑铃与转轴的距离各为0.6m 。
先让人体同5rad/s 的角速度随转椅旋转. 此后，人将哑铃拉回使与转轴距离为0.2m ，人体和转椅对轴的转动惯量为5kg ·m 2，并视为不变. 每一哑铃的质量为5kg 可视为质点人体的角速度ω=_______.解：角动量守恒 ωω)()(20010J J J J +=+这里， 205m kg J ⋅=，218.1m kg J ⋅=，222.0m kg J ⋅= s rad /82.558.6=⨯=∴ω例7-3．长为l 、质量为M 的匀质杆可绕通过杆一端O 的水平光滑固定轴转动，转动惯量为 M l 2/3，开始时杆竖直下垂，如图所示。
有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射入杆上A 点，并嵌在杆中，OA=2l /3，则子弹射入后瞬间杆的角速度ω=____.解：角动量守恒 ωω)(2101J J J +=这里， 2321)(l m J =，2312Ml J =， ∴ l v m M M 0436⋅+=ω例7-4．如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为ML 2/3．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v /2，则此时棒的角速度应为 ［ ］ (A) ML m v ． (B) ML m 23v ． (C) ML m 35v． (D) ML m 47v ．v俯视图解：角动量守恒 L m ML mvL v 2231+=ω, ML m 2v3=ω, ∴ 选（D ）例7-5．在一光滑水平上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量m=1kg 的滑块，如图所示。
弹簧自然长度l 0=0.2m ，倔强系数k=100N ·m -1。
设t=0时，弹簧长度为0l ，滑块速度v 0=5m ·s -1，方向与弹簧垂直。
在某一时刻，弹簧位于与初始位置垂直的位置，长度l=0.5m 。
求该时刻滑块速度v 的大小和方向。
解： θsin 00 mv mv =0202030,/4)(==--=θs m v v m k解得例7-6.一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动．开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求(1) 子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度．(2) 圆盘转动时所受到摩擦力的力矩(3) 经过多少圈后，圆盘停止转动．(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为MR 2/2，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)提示：(1) R vM m m MR mR R mv 0002202/)2/(+=⇒+=ωω (2) MgR g rdr R Mr Mg d r M Rf μππμμ⋅==⋅=⎰⎰3/2)2()(02 (3)2022121)(0ωθMR M f -=∆-g R μωθ2083=∆∴==∆=∴g R n πμωπθ16322练习七一、选择题：7-1．花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，转动惯量为J 0，角速度为w 0．然后她将两臂收回，使转动惯量减少为J 0/3．这时她转动的角速度变为 ［ ］(A) w 0/3． (B) ()3/1 w 0． (C) 3 w 0． (D) 3 w 0．提示：角动量守恒：0003II ωω= 03ωω∴= （选D ）20212212021)( -+=k mv mv7-2．质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为 (A) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，顺时针． (B) ⎪⎭⎫ ⎝⎛=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，顺时针 (D) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=R mR J mR v 22ω，逆时针．［ ］提示：人台系统角动量守恒：0=J ω+mvR2()mR v J R ω∴= (选A)7-3．假设卫星环绕地球中心作圆周运动，则在运动过程中，卫星对地球中心的(A) 角动量守恒，动能也守恒． (B) 角动量守恒，动能不守恒．(C) 角动量不守恒，动能守恒． (D) 角动量不守恒，动量也不守恒． ［ ］提示：卫星所受唯一外力为万有引力，是“有心力”，故角动量守恒；该外力不做功，故动能守恒。
7-4．有一半径为R 的水平圆转台，可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动，转动惯量为J ，开始时转台以匀角速度0转动，此时有一质量为m 的人站在转台中心．随后人沿半径向外跑去，当人到达转台边缘时，转台的角速度为 ［ ］ (A)02ωmR J J +． (B)()02ωR m J J +． (C)02ωmR J ． (D)0ω．提示：人台系统角动量守恒：0J mvR J ωω=+，其中v R ω=，（选A ）二、填空题：7-5．定轴转动刚体的角动量(动量矩)定理的内容是______ _____________________，其数学表达式可写成______________________ _．动量矩守恒的条件是___________ ． 提示：数学表达式2121t t Mdt L L =-⎰；条件：和外力矩为零7-6．有一长度为l ，质量为m 1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O ，且与桌面垂直的固定光滑轴转动，转动惯量J ＝m 1l 2/3．另有一质量为m 2、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A 相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短．已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v 和u ，则碰撞后棒绕O 轴转动的角速度w ＝________________．提示：滑块与棒角动量守恒：22m vl m ul J ω=-+ 213()m v u m l ω+∴=7-7．若作用于一力学系统上外力的合力为零，则外力的合力矩____________（填一定或不一定）为零；这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是 ____________． 提示：反例如：合力为0，但合力矩不为0，此时动量一定守恒。
7-8．一根长为l 的细绳的一端固定于光滑水平面上的O 点，另一端系一质量为m 的小球，开始时绳子是松弛的，小球与O 点的距离为h ．使小球以某个初速率沿该光滑水平面上一直线运动，该直线垂直于小球初始位置与O 点的连线．当小球与O 点的距离达到l 时，绳子绷紧从而使小球沿一个以O 点为圆心的圆形轨迹运动，则小球作圆周运动时的动能E K 与初动能E K 0的比值E K / E K 0 = _______________ ．提示：小球运动过程角动量守恒：0mv h mvh =⇒ 0v h v l = ⇒ 22220v h v l =三、计算题7-9．如图所示，在中间有一小孔O 的水平光滑桌面上放置一个用绳子连结的、质量m = 4 kg 的小块物体．绳的另一端穿过小孔下垂且用手拉住．开始时物体以半径R 0 = 0.5 m 在桌面上转动，其线速度是4 m/s ．现将绳缓慢地匀速下拉以缩短物体的转动半径．而绳最多只能承受 600 N 的拉力．求绳刚被拉断时，物体的转动半径R 等于多少？提示：N 、G 合力矩为0，T 为有心力，故物体角动量守恒：00mv R mvR = ①又有拉力提供向心力：2mv T R = ② 联立①②可解7-10．有两位滑冰运动员，质量均为50 kg ，沿着距离为3.0 m 的两条平行路径相互滑近．他们具有10 m/s 的等值反向的速度．第一个运动员手握住一根3.0 m 长的刚性轻杆的一端，当第二个运动员与他相距3m 时，就抓住杆的另一端．(假设冰面无摩擦)(1) 试定量地描述两人被杆连在一起以后的运动．(2) 两人通过拉杆而将距离减小为1.0m ，问这以后他们怎样运动？提示：（1）、抓杆后两人绕杆中心作圆周运动，角速度为101.5v r ω==（m/s ）(2)、两人各自受G 、N ，力矩总和为0，故两人所成系统角动量守恒；两人通过拉杆将距离减小时，手与杆间摩擦力为有心力，不引入外力矩，故角动量仍守恒。