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2004图论复习题答案

图论复习题答案
一、
判断题,对打√,错打
1.无向完全图是正则图。

( √ )
2.零图是平凡图。

( )
3.连通图的补图是连通图. ( )
4.非连通图的补图是非连通图。

( )
5.若连通无向简单图G中无圈,则每条边都是割边。

( √ )
6.若无向简单图G是(n,m)图,并且m=n-1,则G是树。

( )
7.任何树都至少有2片树叶。

( )
8.任何无向图G都至少有一个生成树。

( )
9.非平凡树是二分图。

( √ )
10.所有树叶的级均相同的二元树是完全二元树。

( )
11.任何一个位置二元树的树叶都对应唯一一个前缀码。

( √ )
12.3,3
K是欧拉图也是哈密顿图。

( )
13.二分图的对偶图是欧拉图。

( )
14.平面图的对偶图是连通图。

( √ )
15.设G*是平面图G的对偶图,则G*的面数等于G的顶点数。

( )二、填空题
1.无向完全图K6有 15 条边。

2.有三个顶点的所有互不同构的简单无向图有 4 个。

3.设树T中有2个3度顶点和3个4度顶点,其余的顶点都是树叶,则T中有 10 片树叶。

4.若连通无向图G是(n,m)图,T是G的生成树,则基本割集
有 n-1 个,基本圈有 m-n+1 个。

5.设连通无向图G有k个奇顶点,要使G变成欧拉图,在G中至少要
加k / 2 条边。

6.连通无向图G是(n,m)图,若G是平面图,则G有m-n+2 个面。

三、解答题
1.有向图D如图1所示,利用D的邻接矩阵及其幂运算
求解下列问题:
(1)D中长度等于3的通路和回路各有多少条。

(2)求D的可达性矩阵。

(3)求D的强分图。

a
b e
图1
解: (1)
M=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00010
1000000001
010******* M 2
=⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦

⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡010*******
00010
1000001000
M 3=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000010000001010000 M 4=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001000100000100000010
由M 3可知,D 中长度等于3的通路有5条,长度等于3的回路有3条。

(2)
I+M+M 2+M 3+M 4
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡100000100000100
0001000001
+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡000101000000001
010*******
+⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡010000001000010
1000001000
+
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1000001000010000001010000 +⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001000100000100000010
=
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡21020
13010111110202011021
D 的可达性矩阵为
R=B (I+M+M 2+M 3+M 4
)=⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡110101*********
1101011011
(3)R T
=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11111
1111100100
1111100101
R×R T =⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦

⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣⎡11010
11010
001001101000001
由矩阵R×R T 可知,该有向图的强分图有:{a},{ b ,d ,e},
{ c}
a
b
e 图1
2.画出有1个4次顶点,2个2次顶点,4个1次顶点的所有非同构的树。

3.用Kruskal 算法求图2所示带权图的最小生成树,并计算它的权。

C (T )=25
4.试画出带权为1,2,3, 4,5,7,的最优二元树, 并计算它的权。

m (T )=(1+2)⨯4+3⨯3+(7+4+5)⨯2=53 5.出席某次国际学术报告会的六个成员
654321,,,,,P P P P P P 被分在一组。

他们的情况是:
1P 会讲汉语、法语和日语; 2P 会讲德语、日语和俄语;
3P 会讲英语和法语;
4P 会讲汉语和西班牙语;
5P 会讲英语和德语; 6P 会讲俄语和西班牙语。

怎样把他们安排在一张圆桌旁坐下,使得每个人都能和他两旁的人交谈? 解 构造无向图>=<E V G ,,其中
},,,,,{654321P P P P P P V =,}|),{(会讲同一种语言与j i j i P P P P E =,
则得无向图如图所示。

3
2P
4P 6P 5
由该图得一条哈密顿回路:1352641PP P P P P P ,即为满足要求的安排。

四、证明题
1. 设T 是完全二元树,T 中有m 条弧和t 片树叶,证明:m = 2(t -1)。

证明: 设完全二元树T 有n 个顶点。

因为它有t 片树叶,所以除树叶以外的顶点有t n -个。

由于完全二元树中,根和分支点的引出次数为2,每片树叶的引出次数为0,故所有顶点的引出次数之和为)(2t n -,它等于边数m 。

又因为1-=n m , 故有1)(2-=-n t n ,解得12-=t n 。

因此
)1(2221-=-=-=t t n m 。

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