x1 a11 x1 a12 x2 a1n xn b11 f1 b12 f2 b1 p f p
x 2
a21 x1
a22 x2
a2n xn
b21
f1
b22
f2
b2 p
fp
x n an1 x1 an2 x2 ann xn bn1 f1 bn2 f2 bnp f p
时刻 t0 的值 uC t0 、iL1t0 和 iL2t0 已知，则根据 t t0 时 的给定的激励 uS1t 和 uS2t 就可唯一地确定该微分方程组 在 t t0 时的解 uC t、 iL1t 和 iL2t 。这样系统的输出为：
ut R2iL2t uS2t iC t iL1t iL2t
状态：一个动态系统在某一时刻的状态是表示该 系统所必需的最少的一组数值，已知这组数值及 t t0 时 的激励，就能完全确定 t t0 时系统的全部工作情况。
状态变量：描述系统内部状态所需用的最少的物理量。 通过这些物理量在 t0 时刻的值（状态）以及 t t0 时的激 励，可以计算出系统内部其它物理量在 t t0 时的值。
其它的输出均可由这三个内部变量和激励线性表示。
通过上面的分析可见，三个内部变量的初始值提供了 确定系统全部情况的必不可少的信息。
这里把 uC t0 、iL1t0 和 iL2t0 称为系统在 t t0 时刻 的状态；而把描述该状态随时间变化的物理量 uC t 、iL1t 和 iL2t 称为状态变量。
ann
b11 b12 b1 p
B
b21
b22
b2
p
bn1
bn2bnpFra bibliotek对于LTI系统，它们都是常数矩阵。 A称为系统矩阵(n×n) ，B称为控制矩阵(n×p )。
类似地，如果系统有q个输出，那么，它们中的 每一个都是用状态变量和激励表示的代数方程，其 矩阵形式可写为：
式中
x(t) [ x1(t)
x(t) [ x1(t) f (t) [ f1(t)
x2 (t ) xn (t )]T 状态矢量
x 2 (t ) x n (t )]T 状态矢量的一阶导数 f2(t) f p (t)]T 激励矢量
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2n
an1
an2
步是根据系统的初始状态和
t t0时或的k激励k0求 出状
态变量（求解状态方程）；第二步是用这些状态变量
来确定初始时刻以后的系统的输出（求解输出方程）。
通常把状态方程和输出方程总称为动态方程或系 统方程。
下面我们看一下动态方程的一般形式。
状态方程和输出方程的一般形式： 设有一个n阶多输入-多输出系统如图所示。
f1 (t ) f2 (t )
{x(t0)}
y1(t) y2(t)
f p(t)
yq(t)
它有p个输入
f1(t ), f2 (t ),, f p (t )
它有q个输出
y1(t ), y2 (t ),, yq (t )
将系统的n个状态变量记为 x1(t), x2(t),, xn(t)
那么，状态方程的一般形式为：
dt
uC
t
uS1t
0
L2
diL2 t
dt
R2iL2 t
uS2 t
uC
t
0
整理得：
duC t
dt
1 C
iL1t
1 C
iL2 t
diL1t
dt
1 L1
uC
t
R1 L
iL1t
1 L
uS1t
diL2 t
dt
1 L2
uC t
R2 L2
iL2 t
1 L2
uS2 t
x1(t ) a11 a12 a1n x1(t ) b11 b12 b1 p f1(t )
x 2 (t
)
a21
a22
a2n
x2(t
)
b21
b22
b2
p
f2
(t
)
x n
(t
)
an1
an2
ann
xn
(t
)
bn1
bn2
bnp
f
p
(t
)
上式就简记为 x(t ) Ax(t ) Bf (t )
指定 ut 和 iC t 为输出。
思路：对于多输入多输出的系统，如果我们先求出 uC t 、 iL1t 和 iL2t ，那么，任何输出都可用它们和激励来线性 组合来描述。
为此，首先找出这三个内部变量与激励的关系。
根据电路理论可得：
C
duC t
dt
iL2
t
iL1
t
0
R1iL1 t
L1
diL1t
状态方程：描述状态变量变化规律的一组一阶微分方 程组，其中每个等式左端为状态变量的一阶导数，右 边是只包含系统参数、状态变量和激励的一般函数表 达式，其中没有变量的微分和积分运算。
输出方程：描述系统的输出与状态变量及输入之间关 系的代数方程组，其中每个等式左端为输出变量，右 边是只包含系统参数、状态变量和激励的一般函数表 达式，其中没有变量的微分和积分运算。
第八章 系统的状态变量分析
要对一个系统进行分析，首先要用数学模型描述系统。 描述系统的方法有：输入输出法和状态变量法。
输入输出法----适合分析单输入单输出系统； 状态变量法----适合分析多输入多输出系统；
便于研究系统内部情况； 便于计算机求解； 容易推广应用于时变系统或非线性系统。
状态变量法：状态方程和输出方程。
duC t
dt
1 C
iL1 t
1 C
iL2 t
diL1 t
dt
1 L1
uC t
R1 L
iL1 t
1 L
uS1 t
diL2 t
dt
1 L2
uC t
R2 L2
iL2 t
1 L2
uS 2 t
这是描述三个内部变量与激励之间关系的一阶微分 方程组。由微分方程理论可知：如果这三个变量在初始
一阶微分方程组 代数方程组
§8.1 状态变量与状态方程 §8.2 连续系统状态方程的建立 § 8.3 离散系统状态方程的建立
§8.1 状态变量与状态方程
一、状态与状态变量的概念
R1 iL1 L1
a
L2 iL2 R2
uS1
iC
uC
u uS 2
图 8.1-1 三阶电路系统
图示一个三阶系统，电压源 uS1 和 uS2 是系统的激励，
状态变量通常用 x1(t), x2 t ,, xn t 来表示。
需要指出，状态变量的选择并不是唯一的，对 于同一个系统，选择不同的状态变量可得出不同的 状态方程。
以上论述也适用于离散系统。
二、状态方程和输出方程
在给定系统和激励信号并选定状态变量的情况下，
用状态变量法来分析系统时，一般分两步进行：第一