线性规划的特点:
目标线性、约束条件为线性不等式或等式
定义：线性规划（LP）的一般模型为 目标函数： max(min) z=c1 x1+ c2 x2+ …+ cn xn
约束条件： a11 x1 + a12 x2+ …+ a1n xn=（≤、≥）b1 a21 x1 + a22 x2+ …+ a2n xn=（≤、≥）b2 ……… am1 x1+ am2 x2+ …+ amn xn=（≤、≥）bm x1≥0，x2≥0，…，xn≥0
第一章 线性规划问题（Linear Programming ）
教学目的：本章主要内容包括线性规划问题的模型、 几何性质、单纯形解法和线性规划的对偶 定理。通过学习应理解和掌握线性规划的 几何性质和求解原理，能针对实际问题， 建立相应的线性规划模型。
重 点：线性规划问题的求解方法、解的基本性质以及 对偶原理。
• 解：设 x1 、x2分别表示工厂1、2处理的污水量（万 m3）, 则有
•
目标函数：
•
min z=1000 x1+1500x2
•
约束条件:
•
x1 ≥1
•
0.8 x1+x2≥1.6
•
x1 ≤ 2
•
x2 ≤ 1.4
•
x1,x2≥0
总结：
一般情况下，其值均是正的
线性规划三要素：
决策变量、目标函数、 约束条件
T.C.Koopmans的运输问题;很多诺贝尔奖金得主的工作与运筹 学有关(阿罗、萨谬尔逊、西蒙等)。 • 60年代华罗庚“优选法、统筹方法”等。 • 运筹学与计算机相结合→实际问题的最优与满意解。
2 OR的内容和分支
规划论:线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划 图论、网络计划与网络分析（哥尼斯堡七桥） 排队论 （吃饭、就医问题） 库存理论 对策论——齐王赛马，矩阵对策 决策论 决策的原则、决策的方法等， “管理就是决策” 多目标决策等
其它表示形式：
形式：max(min)Z= cjxj s.t aijxj,=,bi，i=1,2,…,m xj 0，j=1,2,…,n
向量形式: max(min)Z= cx
矩阵形式:
s.t Pjxj,=,b xj 0，j=1,2,…,n
max(min)Z=CX
s.t AX ,=,b X 0
其中：C—价值向量 A—系数矩阵
3 OR的特点
•是以定量的模型化方法来描述和解决问题（本 质）；
•具有很强的理论性和实践性：合理利用人、财、 物、时、空等信息寻求满意效果。
•系统的观点，全局性规划，多方法的总和。 •应用的普遍性。
4 基本过程
•分析和表达问题； •建立模型——数学模型,网络模型,仿真模型等； •求解模型，即寻找最优（或满意）方案； •检验(对解的最优性进行检验)； •方案的分析、评价、实施；
问题3：靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流 量为每天500万m3，在两个工厂之间有一条流量为200万m3支 流。第一化工厂每天排放含有某种有害物质的工业污水2万 m3 ，第二化工厂每天排放这种工业污水1.4万m3 ，从第一化 工厂排出的工业污水流到第二化工厂以前，有20%可以自然 净化，根据环保要求，河流中工业污水的含量应不大于0.2%。 这两个工厂都需各自处理一部分工业污水，第一化工厂处理 工业污水的成本是1000元/万m3 ，第二化工厂处理工业污水的 成本是1500元/万m3 。现在要问在满足环保要求的条件下，每 厂各应处理多少工业污水，使这两个工厂总的处理工业污水 费用最小？
销量
40 15 25
解：设 xij为从产地运往销地的物资数量(i=1,2；j=1,2,3), 则有
目标函数：
min z=2 x11+x12+3 x13+2x21+ 2x22+4x23 约束条件:
x11+x12+ x13 = 50 x21+ x22+x23 = 30 x11+ x21 =40 x12+ x22 =15 x13+ x23 =25 xij≥0 i=1,2；j=1,2,3
b—资源向量
1.2 LP问题的标准型
分量形式：线性规划（LP）的标准型： 目标函数： max z=c1 x1+ c2 x2+ …+ cn xn
约束条件： a11 x1 + a12 x2+ …+ a1n xn=b1 s.t a21 x1 + a22 x2+ …+ a2n xn=b2 ……… am1 x1 + am2 x2+ …+ amn xn=bm x1≥0，x2≥0，…，xn≥0 且bi≥0
绪论
1 运筹学的概念及其发展历史
“运用和筹划”。研究如何运用已有的技术和方法来解决实际 问题。Operational Research-------OR
运筹帷幄：“夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”《史记。高祖 本纪》 齐王赛马
• 第二次世界大战时期的武器运用问题 • Erlang 1917的排队论； • 美国数学家G.B.Dantzig的线性规划求解问题（1947）；
5 运筹学与管理科学
•运筹学的研究给管理工作带来巨大效益； •用数学语言揭示管理过程和规律； •用定量的方法来研究管理问题； •管理包括定性管理和定量管理两部分； •管理为运筹学提供了广阔的应用领域。
6 运筹学在交通运输中的应用
• 城市交通流的分配问题； • 物流优化（路径选择、基地设置、配装等）； • 铁路车站作业组织优化； • 铁路点线能力协调； • 列车编组计划优化； • 铁路车流车流径路优化等等。
难 点：线性规划的单纯形法求解思想、矩阵表述、对 偶理论以及灵敏度分析
§1 LP问题及其数学模型
1.1 问题的提出
问题1：某工厂计划生产甲、乙两种产品。所需的设备台 时及A、B两种原 A 4 原材料 B 0
乙
2 8 台时
0
16kg
4
12kg
该工厂每生产一件甲产品可获利2元，每生产一件乙产品 可获利3元，问如何安排生产计划，可使利润最大？
解：设x1，x2分别为甲、乙产品的数量，则有
约束条件 x1 + 2x2≤8
4x1
≤16
4x2≤12
x1≥0，x2≥0，称x1，x2为决策变量
目标函数 max z=2x1+3x2
问题2：运输问题的运价、产量、销量如下表，如何安 排调运，运费最小？
销地 1 2 3 产量
产地 运价
A
2 1 3 50
B
2 2 4 30